高中第二册(下a)数学棱柱 练习与解析

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1、棱柱练习与解析1.下列四个命题中，真命题是（　　）A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中两个互相平行的平面间的距离叫做棱柱的高D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形解析：由棱柱的定义知.答案：A2.下列命题中，真命题是（　　）A.在正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1中，因为平面AB1∥平面ED1，所以面AB1与面ED1可看成是此棱柱的两个底面B.在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，所以平行六面体的任意两个相对的面均

2、可当作它的底面C.底面是正多边形的棱柱是正棱柱D.直四棱柱就是长方体答案：B3.下列四个命题中，其本身与其逆命题都成立的是（　　）A.正四棱柱一定是长方体B.正方体一定是正四棱柱C.直平行六面体一定是直四棱柱D.侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱答案：D4.正方体的全面积为S，则它的体积是（　　）A.B.C.D.S解析：设正方体的棱长为a，则有6a2=S，∴a=，∴它的体积为a3=（）3＝.答案：C5.已知三棱柱ABC—A1B1C1的体积是V，E、E1分别是AB、A1B1的中点，F、F1分别是AC、A1C1的

3、中点，则三棱柱AEF—A1E1F1的体积是（　　）A.B.C.D.无法计算解析：∵E、E1为AB、A1B1的中点，F、F1是AC、A1C1的中点，∴EFBC.∴S△EFA＝S△ABC.设三棱柱ABC—A1B1C1的高为h，∴V三棱柱＝S△EFA·h＝S△ABC·h＝V.答案：B6.直平行六面体的底面为菱形，其底面面积为4cm2，两个对角面面积是5cm2和6cm2，那么它的体积是（　　）A.cm3B.cm3C.2cm3D.4cm3解析：设直平行六面体的底面对角线长为a、b，高为h，则有ab=4①，ah=5

4、②，bh=6③.由②③可知abh2＝30，由①知h=，∴V=abh=4×=2（cm3）.答案：C7.长方体过一个顶点的三个面的面积是S1、S2、S3，那么长方体的体积为.解析：设长方体有公共点的三条棱长分别为a、b、c，则有ab=S1，bc=S2，ｃa＝S3，∴abc＝.答案：8.长方体的对角线长为10cm，过同一顶点的两条棱与对角线都成60°角，则长方体体积为.答案：125cm39.已知直棱柱的底面是梯形，两个互相平行的侧面的面积分别是S1、S2，且它们之间距离为h.求这个棱柱的体积.解：设直棱柱的高

5、为h，底面梯形的上底、下底分别为a、b，则有底面面积为S＝h＝，∴V＝S·l＝·l＝h＝h.∴这个棱柱的体积为h.10.在各棱长均为1的正三棱柱ABC—A1B1C1中.（1）求BC1与侧面ABB1A1所成角的正切值；（2）如果M为CC1的中点，求截面AB1M与底面所成角的大小.解：（1）如图，取A1B1的中点D，连结BD、DC1，∵A1C1＝B1C1，∴C1D⊥A1B1.由ABC—A1B1C1为正三棱柱，∴B1B⊥C1D，∴C1D⊥侧面AA1B1B.∴∠DBC1为BC1和侧面ABB1A1所成的角，DC1

6、＝，DB＝，∴tanDBC1＝DC1∶DB＝.（2）如图，∵△ABC是△AB1M在底面上的射影，∴cosα＝S△ABC∶S△，取AB1的中点N，连结DN，∵DNA1A.而A1ACC1，∴DNCC1.又∵M为CC1的中点，∴DNC1M，∴C1DMN.又∵C1D⊥面AB1，∴MN⊥平面AB1且MN＝.△∴S＝AB1·MN＝··＝，而S△ABC＝.∴cosα＝∶＝，∴α＝45°.11.在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=AA1=a，∠ABC=90°，B1在平面ABC内的射影H恰为AB的中点.（1）求证

7、：平面BCC1B1⊥平面ABB1A1；（2）求二面角C1—A1B—B1的大小.（1）证明：平面BCC1B1⊥平面ABB1A1.（2）解：由（1）知C1B1⊥平面A1B1BA，作B1K⊥A1B于K，连结C1K，则C1K⊥A1B，∴∠B1KC1是二面角C1—A1B—B1的平面角.∵H为AB的中点，∠B1HB=90°，BB1=a，BH=a，∴∠B1BA=60°.从而∠BB1A1=120°.∵A1B1=B1B=a，∴B1K=a，∴tanB1KC1===2，∴∠B1KC1=arctan2，即二面角C1—A1B—B

8、1的大小为arctan2.12.斜三棱柱ABC—A1B1C1是底面边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱A1A与底面相邻两边A1B1、A1C1都成45°角，求此棱柱的侧面积和体积.解：过BC作平面BCD⊥直线AA1，交AA1于D.则△ABD为直角三角形.∵AB=a，∠DAB=45°，∴BD=a.同理DC=a.∴截面BDC的周长为++a=a+a，∴S棱柱侧=（+1）ab.过点A1作A1O⊥底面ABC于O，作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N.连结A