高中第二册(下a)数学球 练习与解析1

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1、球练习与解析11.在北纬45°圈上有A、B两地，A在东经120°，B在西经150°，设地球的半径为R，则A、B两地的球面距离是（　　）A.πRB.πRC.πRD.πR解析：由条件知，A、B所在45°纬线圈的半径为R，A、B的经度差为90°，∴线段AB的长为·R＝R，∴∠AOB＝60°，∴A、B的球面距离为R.答案：D2.已知A是半径为R的球O的球面上的一点，过点A的球截面与OA成60°角，则此截面的面积是（　　）A.πR2B.3πR2C.πR2D.πR2解析：设截面圆心为O′，连结OO′、O′A，由

2、球截面性质可知∠O′AO＝60°，∴O′A＝R.∴截面面积为π（O′A）2＝π·（R）2＝πR2.答案：C3.地球半径为R，则北纬60°纬线圈的长是（　　）A.RB.RC.RD.πR解析：北纬60°纬线圈的半径为R，故北纬60°纬线圈的长度为2π·R＝πR.答案：D4.正方体的内切球与外接球的半径之比为（　　）A.∶1B.∶2C.∶3D.2∶解析：设正方体的棱长为a，则内切球的半径为，外接球的半径为a.∴半径之比为∶a＝∶3.答案：C5.球的半径为10cm，若它的截面面积是36πcm2，则球心到截面

3、的距离是　　　　　.答案：8cm6.半径为10cm的球被两个平行平面所截，截得的面积分别是36πcm2、64πcm2，则这两个平面间的距离是　　　　.解析：当球的球心在两个平行平面的外侧时，则由球的截面性质知，这两个平面间的距离为球心到两个截面的距离差，即为－＝2（cm）.当球的球心在两个平行平面之间时，同样可求得截面间的距离为+＝14（cm）.答案：2cm或14cm7.设地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两地，它们的纬度圈上的弧长等于πR，求A、B两地间的球面距离.解：如图，O′B＝R·cos

4、45°＝R.∴∠AO′B＝＝，∴AB＝O′B·＝R.∴∠AOB＝60°，∴A、B两地的球面距离为R.8.A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C两点间的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离都为，球心为O，求：（1）∠BOC，∠AOB，∠AOC的大小；（2）球心到截面ABC的距离.解：（1）∠BOC＝，∠AOB＝，∠AOC=.（2）连结OA、OB、OC、AB、AC、BC得三棱锥O－ABC，设OH⊥平面ABC于H，则h=OH为球心到截面ABC的距离.由OA⊥OB，OA⊥OC得OA⊥平面OBC，VO－

5、ABC＝·1·S△OBC＝×＝.又VO－ABC＝·h·S△ABC＝·h··，∴＝h，即h＝.9.求半径为R的球的内接正四棱柱侧面积的最大值.解：设正四棱柱的底面边长为x，则棱柱的高为h=（0＜x＜R）∴S棱柱侧=4x·=2·（x）·≤2·=4R2.当且仅当x=，即x=R时，上式“=”成立.∴正四棱柱的侧面积的最大值为4R2.10.过球面上同一点A的两个截面有唯一公共点且所成的角为60°，其中一个截面过球心，两截面圆圆心之间的距离为10，求这个球的直径.解：设O1为小圆圆心，直线PA是两个截面所在平面

6、的交线，∵PA与两圆都有唯一的公共点A，∴PA是圆O和圆O1的切线，且切点为A，∴OA⊥PA，O1A⊥PA，∴∠OAO1为两截面所成二面角的平面角，∠OAO1＝60°，连结AO1、AO、O1O，因O1O垂直于⊙O1，∴O1O⊥AO1，易知O1O=10.在Rt△OAO1中，OA＝∴球的直径为.