高中第二册(下a)数学棱锥 练习与解析

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1、棱锥练习与解析1.正四面体的两面所成二面角的大小为（）A.B.arcsinC.arccosD.arccos解析：设正四面体的棱长为2（如图），取D为AB的中点，则∠PDC为所求二面角的平面角.在△PDC中，PD=，DC=，PC=2，所以cosPDC==.∴∠PDC=arccos.答案：D2.一个棱锥被平行于底面的平面所截，如果截面面积与底面面积之比为1∶2，那么这截面所截得的棱锥与原棱锥的体积的比为（　　）A.1∶2B.1∶C.1∶2D.1∶（+1）解析：设截面面积为S0，截得小棱锥的高为h0，体积为V0，原棱锥的高为h，体积为V，底面面积为S，则答案：C3.正四棱锥底面外接圆半径为1

2、0cm，斜高为12cm，下面数据正确的是（　　）A.高h=2cmB.侧棱长l=12cmC.侧面积S=60cm2D.对角面面积S=10cm2解析：由条件可知，底面边长为10cm，斜高为12cm，高为=cm，侧棱长为＝cm，侧面积为240cm2，对角面面积为10cm2.答案：D4.已知三棱锥P—ABC，如图，PC⊥AB，AB=5，PC=6，E、F、G、H分别是PA、PB、CB、CA的中点，则下列结论中正确的是（　　）A.EFGH不一定是平行四边形B.EFGH是平行四边形但计算其面积的条件不够C.EFGH是矩形，其面积等于7.5D.以上结论都不成立解析：由条件知EFAB，HGAB.∴HGEF

3、，∴EFGH为平行四边形.同理可知FGPC，且PC⊥AB.∴EFGH为矩形，∴面积为·=7.5.答案：C5.正四棱锥的底面边长为6，侧面与底面所成的角为30°，则棱锥斜高为（　　）A.B.2C.6D.3解析：斜高=答案：B6.已知三棱锥P－ABC中各侧面与底面所成的角都是60°，且底面三角形三边长分别为7、8、9，则此三棱锥的侧面积为（　　）A.12B.24C.8D.6解析：设底面三角形ABC的边AB=7，BC=8，CA=9，则cosABC==，∴sinABC==.∴S△ABC=×7×8×sinABC=12.△∴S侧===24.答案：B7.三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面面积分别为

4、S1、S2、S3，求它的体积.解：由棱锥的三个侧面两两垂直，故侧棱两两垂直，设侧棱长分别为a、b、c，则有=S1，bc=S2，ba=S3，∴abc==2V，∴V=.8.已知正六棱锥的底面边长为4cm，侧面与底面所成的二面角为45°，求它的侧棱长和侧面积.解：由条件可知，底面内切圆的半径为2cm.又∵侧面与底面所成的二面角为45°，∴棱锥的高为2cm，∴侧棱长为（cm），斜高为2·=2.∴侧面积为·6×4·2=24（cm2）.9.如图，直棱柱ABC—A1B1C1的侧棱和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求四面体BB1DE的体积.解：＝＝S△ABC·B1B=·a2·a

5、=a2.由条件知，D、E分别为AB1和CB1的中点，△△∴S=S且A到面BB1C的距离h为D到面B1EB的2倍，即D到B1EB的距离为h，△△△∵V=·h=·（S·）·h=·S·h=＝·=a2，∴=a2.10.已知正八面体的棱长为8，求它的体积.解：正八面体可分成两个正四棱锥.正四棱锥的底面积为64，高为∴V正四棱锥=×64×4=，∴正八面体的体积为.11.如图，已知三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，P在底面ABC内的射影为H，求证：△APB的面积是△ABC和△AHB的面积的比例中项.证明：∵PA、PB、PC两两垂直，∴H为△ABC的垂心.连结CH并延长交AB于D，连结PD，由三垂线

6、定理知PD⊥AB.由条件知，PC⊥面ABP，∴PC⊥PD.在Rt△CPD中，由射影定理，得PD2=CD·HD.∴AB2·PD2=AB·CD·AB·HD，即S△APB2=S△ABC·S△AHB.12.如图，在底面是ABCD的四棱锥P—ABCD中，MN是棱PA和BC的公垂线，MN=l，PA=a，BC=b，PA和BC所成角为θ，求四棱锥P—ABCD的体积.解：连结AC，∵BC∥AD，∴PA、AD的夹角为PA和BC所成的角θ，且BC∥平面PAD.∴C到平面PAD的距离即为BC到平面PAD的距离.又∵MN⊥PA，MN⊥BC，BC∥AD，∴MN⊥AD，∴MN⊥平面PAD.∴VP-ABC=VP-AD

7、C=VC-PAD=S△PAD·MN=ablsinθ.∴VP-ABCD=2VP-ABC=ablsinθ.