高中第二册(下a)数学空间直线 练习与解析3

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1、空间直线练习与解析31.已知异面直线a、b分别在平面α、β内，而α∩β=c，那么直线c（　　）A.将同时与a、b相交B.至少与a、b中的一条相交C.至多与a、b中的一条相交D.与a、b都不相交解析：假设c与a、b都不相交，∵a与c在同一个平面内，∴a∥c.同理b∥c.∴a∥b.这与a和b是异面直线矛盾.∴c至少与a、b中的一条相交.答案：B2.如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列结论正确的是（　　）A.A1C1与A1D成90°角B.A1C1与AC是异面直线C.AC与DC1成45°角D.A1C1与B1C成60°角解析：连结AC、A1D、DC1、B1C、A1

2、C1，则A1C1∥AC，∴∠B1CA为A1C1与B1C成的角.∵△AB1C为正三角形，∴∠B1CA=60°.答案：D3.如图，在空间四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，则EF与AC所成角的大小为（　　）A.90°B.60°C.45°D.以上都不对解析：取BC的中点H，连结EH、HF，则EHAC，HFBD，∠HEF为EF与AC所成的角，EH⊥HF，EH=HF.∴∠HEF=45°.答案：C4.在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有（　　）A.4条B.5条C.6条D.7条解析：有B1B、CC1、A1B1、D1C1共4条.答案：

3、A5.如图，已知长方体的长和宽都是6cm，高是2cm，则下列结论中正确的个数是（　　）①BC和A′C′所成的角是45°　②AA′和BC′所成的角是30°　③A′B′和DD′的距离是6　④B′C′和CD的距离是6A.1B.2C.3D.4解析：①、③正确，②、④不正确.答案：B6.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝２，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝，则AD、BC所成的角为______.解析：取AC的中点G，连结GE、GF，∵E、F、G分别为AB、CD、AC的中点，AD＝CB＝２，∴EG＝GF＝１，EG∥BC，FG∥AD.故AD、BC所成角α为∠EGF（或补角）.由

4、三角形余弦定理知cosEGF=－，∴cosα＝，α∈（0，］.故α＝60°.答案：60°7.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线BD1与底面对角线AC所成的角为__________.解析：取AC的中点为O，DD1的中点为G，连结OG、BD、AG、CG，则OG∥BD1，∠GOC为BD1与AC所成的角，由AG=CG知OG⊥AC，∴∠GOC=90°.答案：90°8.如图，已知P平面ABC，PA≠PB，CM是AB边上的中线，PN⊥AB.求证：CM和PN是异面直线.证明：∵PA≠PB，PN⊥AB，∴N不是AB的中点.∴点N不在直线CM上.∵P平面ABC，CM平面ABC，∴CM和

5、PN是异面直线.9.空间四边形ABCD，AB＝CD＝８，M、N、P分别为BD、AC、BC的中点，若异面直线AB和CD成60°的角，求MN的长度.解：分别连结MN、NP、MP，∵M、N、P分别为BD、AC、BC的中点，∴MPCD，NPAB，且AB＝CD＝８.∴∠MPN（或∠MPN的补角）为AB和CD所成的角，且MP＝NP＝４.∴∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.当∠MPN＝60°，由三角形余弦定理可得MN２＝MP２＋NP２－２MP·NPcosMPN，解得MN＝４.同理，当∠MPN＝120°时，MN＝4，即MN的长为4或4.10.已知空间四边形ABCD中，AB＝BD＝AD＝２

6、，BC＝CD＝，AC＝，延长BC到E使CE＝BC，F是BD的中点，求异面直线AF与DE的距离和所成的角.解：（1）在△ABD中，∵AB＝BD＝AD，F为BD的中点，∴AF⊥BD，即DF⊥AF.在△BDE中，∵BC＝CE＝CD，∴∠BDE＝90°，即ED⊥DB.∴DF为异面直线AF和DE的公垂线.又BD＝２，∴DF＝１，即AF和DE的距离为1.（2）由上述证明可知，CF∥DE，∴∠AFC（或其补角）为异面直线AF和DE所成的角.∵AB＝BD＝AD＝２，F为BD的中点，∴AF＝.又∵BC＝CD＝，∴CF=.而AC＝，∴在△AFC中，cosAFC＝∴∠AFC＝60°，即AF和DE所

7、成的角为60°.