高中第二册(下a)数学直线与平面垂直的判定和性质 练习与解析

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1、直线与平面垂直的判定和性质练习与解析<1>P为△ABC所在平面外一点，则在△ABC、△PAB、△PBC、△PCA中，直角三角形最多有…………………………………（）A.4个B.3个C.2个D.1个<2>若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面………（）A.有且只有一个B.可能存在也可能不存在C.有无数多个D.一定不存在<3>已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在的平面，如图9-4-39，那么………………………（）A.PA=PB＞PCB.PA=PB＜PCC.PA=PB=PCD.PA≠PB≠PC图9-4-39<4>Rt△ABC的斜边BC在平面α内

2、，顶点A在平面α外，则Rt△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形只能是……………………………………………………………（）A.一条线段B.一个锐角三角形C.一个钝角三角形D.一条线段或一个钝角三角形<5>在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥平面ABCD，PA=1，则PC与平面ABCD所成的角是…………………………………（）A.30°B.45°C.60°D.90°<6>P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影.（1）若PA=PB=PC，则O是△ABC的______；（2）若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的______；（3）若P到△ABC三边的距离相等

3、，且O在△ABC内部，则O是△ABC的______；（4）若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的______.<7>如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l⊥α，mα和m⊥γ，现给出以下四个结论：①α∥γ且l⊥m；②αγ且m∥β；③αβ且l⊥m；④αγ且l⊥m.其中正确的为______.其中正确的为______.（写出序号即可）<8>以等腰直角三角形ABC斜边上的高CD为棱折成一个60°的二面角，使B到B′的位置如图9-4-40.已知斜边AB=2.求（1）顶点C到平面AB′D的距离；（2）顶点A到平面CB′D的距离；图9-4-40（3）AC与平面CB′D所成的角.<9>

4、如图9-4-41，已知A是△BCD所在平面外一点，∠ABD=∠ACD=90°，AB=AC，E是BC的中点.求证：（1）AD⊥BC；（2）△AED是钝角三角形.图9-4-41<10>在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：B1O⊥PA.解析1.解析：作直角三角形ABC，使∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，如图9-4-42所示.则PA⊥PB，PA⊥AC.∴△ABC、△PAB、△PAC都是直角三角形.可证BC⊥PA.又∵BC⊥AB，∴BC⊥面PAB.又∵PB面PAB，∴BC⊥PB.图9-4-42∴△PBC是直角三角形.则这四个三角形都是直角三角形.

5、故选A.答案：A2.解析：设平面α是过a且与b垂直的平面，则b⊥α，aα.a⊥b.∴当a⊥b时，存在平面α；当a与b不垂直时，不存在平面α.故选B.答案：B3.解析：∵PM⊥平面ABC，∴PA、PB、PC在平面ABC内的射影分别是MA、MB、MC.又∵AM=MB，∠ACB=90°，∴MA=MB=MC.∴PA=PB=PC.故选C.答案：C4.解析：当面ABC⊥α时，组成的图形是线段BC；当面ABC与α斜交时，组成的图形是钝角三角形.故选D.答案：D5.解析：连结AC，则AC是PC在平面ABCD上的射影.∴∠PCA是PC与平面ABCD所成的角.∵AB=1，BC=，∴AC=.∴在Rt△PAC中，

6、tanPCA===.∴∠PCA=30°.故选A.答案：A6.解析：（1）如图9-4-43所示，∵PO⊥平面ABC，图9-4-43∴PA、PB、PC在平面ABC上的射影分别是OA、OB、OC.又∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC.∴O是△ABC的外心.故填外心.（2）如图9-4-44所示，∵PO⊥平面ABC，∴PA在平面ABC上的射影是OA.图9-4-44∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理可证AC⊥OB，∴O是△ABC的垂心.故填垂心.（3）如图9-4-45所示，P到△ABC三边的距离分别是PD、PE、PF，则PD=PE=PF.∵PO⊥平面ABC，图9-4-45∴PD、PE、PF在平面AB

7、C上的射影分别是OD、OE、OF.图9-4-46∴OD=OE=OF，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴O是△ABC的内心，故填内心.（4）如图9-4-46所示，∵PO⊥平面ABC，∴OA是PA在平面ABC上的射影.又∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.又∵BC平面PBC，∴PA⊥BC.∴OA⊥BC.同理可证OB⊥AC.∴O是△ABC的垂心.故填垂心.答案：（1）外心（2）垂心（3）内心（4）垂心7.解析：