高中第二册(下a)数学直线与平面垂直的判定和性质 同步练习1

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1、直线与平面垂直的判定和性质同步练习11.下列六个命题，其中正确命题的个数是（　　）①过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行　②过已知平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行　③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直　④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直　⑤过一点有且只有一个平面与已知直线垂直　⑥过已知直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行A.6B.5C.4D.3答案：D2.若AB是平面α的斜线，CB是AB在α上的射影，l是α内任意一条直线，设，AB与l所成的角为θ２（0°＜θ２≤90°），那么（　　）A.θ1＞θ２B.

2、θ1＜θ２C.θ1＝θ２D.θ1≤θ２解析：斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.答案：D3.两条异面直线在同一平面上的射影是（　　）A.两条平行直线B.两条相交直线C.一个点和一条直线D.以上均有可能答案：D4.将等腰直角三角形ABC沿斜边AB的中线CO折叠，使AO⊥BO，且AC=，则折叠后A到平面BCO的距离为（　　）A.B.C.D.1答案：D5.异面直线a、b所成的角为θ，a⊥平面β，直线b与平面β所成的角为，则与θ的关系一定是（　　）A.θ=B.θ=90°－C.θ=180°－D.θ≠解析：过平面

3、β外a上的一点作b的平行线b′，则b′与β所成的角为，b′与a所成的角为θ，∴θ+=90°.答案：B6.斜线AB、AC与平面α所成的角为30°和45°，斜足为B和C，∠BAC＝90°，则AB、AC在平面α内的射影夹角的余弦值为__________.解析：设A′为A在平面α内的射影，连结A′B、A′C，即A′B、A′C为AB、AC在平面α上的射影，∴∠ABA′＝30°，∠ACA′＝45°.设A′A＝a，则AB＝2a，A′B＝，AC＝，A′C＝a.又∵∠BAC＝90°，∴BC＝.在△A′BC中，cosBA′C＝.答案：－7.如图，H是锐角

4、△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，若∠BPC＝90°.求证：∠BPA＝90°，∠APC＝90°.证明：连结BH并延长交AC于点E，∵H是△ABC的垂心，∴BE⊥AC.又∵PH⊥面ABC，由三垂线定理知PB⊥AC.又∠BPC＝90°，即PB⊥PC，PC∩AC＝C，∴PB⊥平面APC.又∵PA平面APC，∴PB⊥PA，即∠BPA＝90°.同理∠APC＝90°.8.如图，AD为三角形ABC的边BC上的高，E在AD上，且AE＝ED，过E作直线M.平行于BC交AB于M，交AC于N，将△AM.沿MN折过去，此时A点到了A′的位置，成了一个立体图形

5、，若∠A′ED＝60°.求证：EA′⊥平面A′BC.证明：∵AD⊥BC，MN∥BC，∴AD⊥MN，即AE⊥MN.∴A′E⊥MN.∴A′E⊥BC.①连结A′D，在△A′ED中，设ED＝a，A′E＝，∴A′D2＝DE2＋－２ED·EA′cosA′ED＝a2＋－2a·cos60°＝.又ED2＝a2，A′E2＋A′D2＝，∴ED2＝A′E2＋A′D2.∴A′E⊥A′D.由①知A′E⊥BC，A′D∩BC＝D，∴EA′⊥平面A′BC.9.如图，VC是△ABC所在平面的斜线，V在面ABC上的射影为N，N在△ABC的高CD上，M是VC上的一点，∠MD

6、C＝∠CVN.求证：VC⊥面AMB.证明：∵VN⊥面ABC，CD⊥AB，且N在CD上，∴由三垂线定理知，AB⊥ＶC.又∵ＶN⊥平面ABC，∴VN⊥DN.∵∠MDC＝∠CVN，且∠ＶCD＝∠ＶCD，∴∠DMC＝∠VNC＝90°，即ＶC⊥DM.又∵AB∩DM＝D，∴ＶC⊥平面ABM.10.Aα，AB、AC是平面α的两条斜线，O是A在平面α内的射影，AO＝４，OC＝，BO⊥OC，∠OBA＝30°.求C到AB的距离.解：过点O在平面ABO内作OD⊥AB，垂足为D，∵AO⊥面α，OCα，∴AO⊥OC.又∵BO⊥OC，AO∩OB＝O，∴OC⊥面A

7、BO.又∵OD⊥AB，∴CD⊥AB，即CD的长为点C到AB的距离.在Rt△ABO中，AO＝４，∠ABO＝30°.∴OD＝.∴在Rt△ODC中，CD＝，即点C到AB的距离为.11.已知平面α内有∠xOy＝60°，OA是α的斜线段，且OA＝10，∠AOx＝∠AOy＝，求A到α的距离.解：如图，设A在平面α的射影为H，连结OH，过H作BH⊥Oy，垂足为B.∵∠AOy＝∠AOx＝45°，∴OH为∠xOy的角平分线.在Rt△AOB中，AO＝10，∴OB＝.在Rt△OBH中，OH＝，∴在Rt△AOH中，AH＝.∴A到α的距离为.