高中数学选修本(文科)导数 练习解析(2)

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1、导数练习解析(2)1.(04年全国1文)函数在处的导数等于()A.1B.2C.3D.4解析:函数的导数为,所以,故选D.2.(2005湖北卷文)在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是()A.3B.2C.1D.0解析:根据导数定义求出函数的导数为,依题意得,即,故整数x有三个,坐标为整数的点也有3个.故选A.3.(06全国文2)过点(-1,0)作抛物线的切线,则其中一条切线为()(A)(B)(C)(D)解析:设为作抛物线上一点,则在该点处切线的斜率为于是过点的抛物线的切线的方程

2、为,又,又,解之得,于是则:过(0,1)的切线方程为,即过(-2,-3)的切线方程为,即故选D讲评:本题考查利用导数的几何意义求抛物线的切线方程,注意点(-1,0)不在抛物线上.4.(2006年安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为()A.B.C.D.解:与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为,故选A5.(06湖南理)曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是___________.解析:两曲线方程联立得,解得,6.(2005浙江文第

3、9题)函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=()(A)(B)(C)(D)1解:方法(一)利用切线的性质由题意,得有两个等实根,得a=,选(B)方法(二)利用导数定义可得,切点在直线y=x设切点为(x,x),根据切点在y=ax2+1和切点的导数为切线的斜率得可得.7.(2005重庆文)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为__________。解析:∵=3x2,∵在(1,1)处切线为y-1=3(x-1),令y=0,得切线与x轴交点(),切线与直线x=2交于(

4、2,4),∴曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为S=..8.(05重庆理)曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为=.解析:∵=3x2,∵在(a,a3)处切线为y-a3=3a2(x-a),令y=0,得切线与x轴交点(),切线与直线x=a交于(a,a3),∴曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为S=,令S=,解得a=±1.9.(04年湖南文)过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__________.解析:y=3x2-4x+2的导数

5、为,故过点M(1,1)处的切线的斜率为2,又过点P(-1,2),可以求得直线方程为10(2005全国卷III文第15题)曲线在点(1,1)处的切线方程为____________.解析:因为(1,1)在曲线上,所以可以求得,故切线的斜率为,求得切线的方程为11.(05江苏理)曲线在点(1,3)处的切线方程是_________________.解析:因为(1,3)在曲线上,所以可以求得,故切线的斜率为4,求得切线的方程为12.(04年全国1文)已知直线为曲线在点(1,0)处的切线,为该曲线的另一条切线,且

6、(Ⅰ)求直线的方程;(Ⅱ)求由直线、和轴所围成的三角形的面积..分析:根据点(1,0)在直线上,利用导数求得直线的方程,根据求出的斜率,从而求得的方程.进而求得三角形的面积.解:y′=2x+1.直线l1的方程为y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2因为l1⊥l2,则有2b+1=所以直线l2的方程为(II)解方程组得所以直线l1和l2的交点的坐标为l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、.所以所求三角形的面积评注:本题考

7、查了利用导数求两种切线的方法,在求切线是一定要注意点是否在曲线上.如果点在曲线上直接利用该点导数,求出直线的方程;如果点不在直线上,首先求出切点坐标,然后进行求解.(03全国文〕已知抛物线C1:y=x2+2x和C:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.(Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;(Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.分析:根据导数可以求得两切线的方程,有且

8、仅有一条公切线即两方程为同一个方程,可以求a的值;若证明两公切线平分,即证明中点相同即可.(Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P(x1,x+2x1)的切线方程是:y-(x+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x①函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2在点Q(x2,-x+a)的切线方程是即y-(-x+a)=-2x2(x-x2).y=-2x2x+x+a.②如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都

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