高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）2.5.2 形形色色的函数模型导学案 湘教版必修1

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1、2.5.2　形形色色的函数模型学习目标重点难点1．能说出常见常用的一些函数模型；2．能利用常见的函数模型解决一些简单的实际问题；3．能够根据实际问题的需要，建立恰当的函数模型解决问题.重点：运用函数模型，解决某些简单的实际问题；难点：根据实际问题的需要，建立恰当的函数模型.1．数学建模把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，数学知识的这一应用过程称为数学建模．2．函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释特定现象的现实状态

2、，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制方案．预习交流1你能说出一些常见的函数模型吗？它们的一般形式是什么？提示：(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(3)分段函数模型；(4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，且b≠1)；(5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，且a≠1)；(6)幂函数模型：y＝axm＋n(m，n，a为常数，a≠0)．预习交流2数学建模的步骤通常是怎样的？提

3、示：(1)正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息．(2)建立数学模型：在(1)的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构．(3)求得数学问题的解．(4)将数学模型分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用性．预习交流3在解决实际问题过程中，该如何做才能找到合适的数学模型？提示：(1)建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设想比较接近的可能的函数模型．例如：一次函数型、二次函数型、指数、对数函数型．(3)利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的

4、函数模型．一、已知函数模型的应用问题某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)．(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)思路分析：由题目可获取以下主要信息：①总成本＝固定成本＋100x；②收益函数为一分段函数．解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润，知利润＝总收益－总成本．由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题．解：(1)设每月产量为x台，则总成本为2

5、0000＋100x，从而f(x)＝(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25000，∴当x＝300时，有最大值25000；当x＞400时，f(x)＝60000－100x是减函数．f(x)＜60000－100×400＜25000.∴当x＝300时，f(x)的最大值为25000.∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的关系为v＝2000ln.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12km/s?解：由12000

6、＝2000ln，即6＝ln，1＋＝e6，利用计算器算得≈402.即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s.函数模型已知时，关键要分清条件和结论，理顺数量关系，借助已知函数的性质解决问题．二、自建函数模型的应用问题某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：x…30404550…y…6030150…(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P

7、关于x的函数关系式，并计算当销售单价为多少时，利润最大？解：(1)根据题干中所给表作图如下，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)在同一条直线上，设它们共线于直线l：y＝kx＋b，∴⇒∴y＝－3x＋150(x∈N)．经检验，点(30,60)、(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y＝－3x＋150(x∈N)．(2)依题意有P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300，∴当x＝40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，能获得最大日销售利润．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元

8、，每桶水的进价是5元．销