高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）1.2.6 分段函数 湘教版必修1

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1、1.2.6　分段函数学习目标重点难点1．能说出分段函数的定义；2．能根据题意用分段函数表示函数关系；3．会画出分段函数的图象；4．能求分段函数的函数值或由函数值求自变量的值.重点：会画出分段函数的图象，能求分段函数的函数值；难点：会用分段函数表示函数关系，能由函数值求自变量值.分段函数如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．预习交流1分段函数由几个部分组成，能否认为分段函数就是几个函数呢？提示：不能．分段函数是一个整体，表示的是一个完整的函数，而不是

2、几个函数．分段是针对定义域而言的．预习交流2分段函数的定义域和值域怎样确定？提示：分段函数的定义域为各段x取值区间的并集；值域为各段y取值区间的并集．一、分段函数的求值问题已知函数f(x)＝(1)求f，f，f(4.5)，f；(2)若f(a)＝6，求a的值．思路分析：(1)根据自变量的取值区间，选择相应的对应法则计算函数值；(2)函数值6可能是由三个不同对应法则中的一个计算得到的，故需分类讨论．解：(1)因为－∈(－∞，－1)，故f＝－2×＝3.因为∈[－1,1]，故f＝2.又2∈(1，＋∞)，所

3、以f＝f(2)＝2×2＝4.因为4.5∈(1，＋∞)，故f(4.5)＝2×4.5＝9.(2)经观察可知a[－1,1]，否则f(a)＝2.若a∈(－∞，－1)，令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；若a∈(1，＋∞)，令2a＝6，得a＝3，符合题意．故a的值等于－3或3.已知函数(1)求f(0)，f(2)，f[f(0)]；(2)若f(a)＝－4，求a的值．解：(1)f(0)＝－02＋1＝1，f(2)＝－2×2＝－4，f[f(0)]＝f(1)＝－2×1＝－2.(2)若a∈(－∞，0]，令－a2＋1＝－

4、4，解得a＝－或a＝(舍去)；若a∈(0，＋∞)，令－2a＝－4，解得a＝2，符合题意．故a的值为－或2.1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．2．像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．3．如果已知分段函数的函数值，求自变量的值时，要注意分类讨论，然后将每一段上得到的结果根据该段自变量的范围进行取舍．二、分段函数的图象问题设x∈R，作出函数y＝2

5、x－1

6、－3

7、x

8、的图象，并求出其值域．思路分析：先化简函数解析式，去掉绝对值符号，

9、用分段函数表示，然后在每一段上画出图象，最后结合图象写出值域．解：当x≤0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2，当0＜x≤1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2，当x＞1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2.∴y＝其图象如下图所示：由图象可知函数值域是(－∞，2]．已知f(x)＝(1)画出f(x)的图象；(2)求f(x)的定义域和值域．解：(1)f(x)的图象如图所示：(2)由条件知：函数定义域为R；又由图象知，当

10、x

11、≤1时，y∈[0,1]；当

12、x

13、＞1时，y=1，所以f(x)的值域是[0

14、,1]．1．画分段函数的图象时，则应分段分别画出其图象，在画每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线画出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可．2．分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．3．对含有绝对值的函数，要画出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．三、分段函数的解析式问题国家规定个人稿费的纳税

15、办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿费的11%纳税．(1)试根据上述规定建立某人所得稿费x元与纳税额y元的函数关系式；(2)某人出版了一本书，得稿费5200元，那么他应纳税多少元？(3)某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？思路分析：所得稿费x的取值范围不同，纳税额y的计算方法也因之不同，因此应用分段函数表示这一函数关系．解：(1)依题意有：当0＜x≤800时，y＝0；当800＜x≤4000时，

16、y＝(x－800)×14%；当x＞4000时，y＝x×11%.故y与x之间的函数关系式是y＝(2)某人得稿费x＝5200，显然x＞4000，∴y＝5200×11%＝572(元)．即他应纳税572元．(3)令(x－800)×14%＝420，解得x＝3800∈(800,4000]，而令x×11%＝420，解得x＝3818(4000，＋∞)，故x＝3818(舍去)．∴这个人的稿费为3800元．某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地，到达B地后没有停留，再以65千米/时的速度返回A地