高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）2.2.2 换底公式导学案 湘教版必修1

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1、2.2.2　换底公式学习目标重点难点1．能记住换底公式，并会证明换底公式；2．会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题；3．能综合利用对数的相关知识解决问题.重点：换底公式的应用——求值和化简；难点：用换底公式和对数运算性质解决综合问题.1．对数的换底公式换底公式：logaN＝(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，N＞0)．最常用的换底公式是logaN＝和logaN＝.预习交流1换底公式的意义是什么？提示：换底公式的意义主要体现在化简和求值两个方面：化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题，利用运算法则进行化简与求

2、值．求值：在实际问题中，把底数换成10或e，可利用计算器或对数表得到结果．预习交流2除了课本中的方法，你还用其他方法证明换底公式吗？提示：令＝x，则logcN＝xlogca＝logcax，因此ax＝N，∴x＝logaN，即logaN＝.2．换底公式的两个重要推论(1)＝logab.(2)logab＝.一、利用换底公式求值或化简求解下列各题：(1)化简(log43＋log83)；(2)已知log1227＝a，求log616的值．思路分析：对于(1)有两种思路：一是直接利用换底公式，将log43与log83都化为常用对数，然

3、后进行化简；二是考虑到4和8都是2的幂的形式，因此可利用换底公式的变形，再将逆用换底公式，然后即可化简求值．对于(2)，也有两种思路：一是直接利用换底公式，结合对数运算法则，寻求lg2与lg3的关系，然后代入化简；二是将对数log1227及log616的底数及真数进行分解变形，发现它们之间的关系，然后代入化简．解：(1)方法一：原式＝＝·＝·＋·＝＋＝.方法二：原式＝·log32＝·log32＝log23·log32＝.(2)方法一：由log1227＝a，得＝a，∴lg2＝lg3.∴log616＝＝＝＝.方法二：由于lo

4、g1227＝log1233＝3log123＝a，∴log123＝.于是log312＝，即1＋2log32＝.因此log32＝.而log616＝4log62＝＝＝＝＝.故log616＝.1．求值：log89·log2732.解：方法一：log89·log2732＝·＝·＝.方法二：log89·log2732＝＝log23·log32＝.2．已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.解：∵log23＝a，∴log37＝＝＝b.∴log27＝ab.∴log1456＝＝＝＝.1．利用对数的换底公式计算化简

5、时，通常有以下几种思路：一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底．二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值．三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形＝logab.对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值．2．对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用．二、利用对数的换底公式证明等式已知a，b，c均为正数，3a＝4b＝6c，求证：＋＝.思路分析：由于题目中涉及的字母均出现在幂式的幂指数上，因此可设

6、出幂的结果，将指数式转化为对数式，然后利用换底公式及对数运算性质进行证明．证明：不妨设3a＝4b＝6c＝m，则m＞0且m≠1，于是a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m.则由换底公式可得＝logm3，＝logm4，＝logm6，于是＋＝2logm3＋logm4＝logm(32×4)＝logm36＝2logm6＝.因此等式成立．已知2m＝5n＝10，求证：m＋n＝mn.证明：由已知可得m＝log210，n＝log510，因此＝lg2，＝lg5，于是＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1，即＝1，故m＋n＝mn.1．在已知

7、条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形．2．由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质logab＝进行变换．三、对数换底公式的综合应用(1)已知11.2a＝1000,0.0112b＝1000，求－的值；(2)设logac，logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，求的值．思路分析：由题目可获取以下主要信息：第(1)题中的两个指数式的底数

8、不同，指数式的值相同．第(2)题方程的两根为对数式，所求式子涉及的字母都在表示两根的式子之中．解答第(1)题需将指数式化为对数式，解答第(2)题需利用一元二次方程根与系数的关系列出式子，再利用换底公式与所求的式子联系起来，进行求解．解：(1)∵11.2a＝1000，∴lg11.2a＝lg1000，即a·lg11.2＝