高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）2.1.1 指数概念的推广导学案 湘教版必修1

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1、2.1.1　指数概念的推广学习目标重点难点1．能说出根式的概念，知道什么是根指数，什么是被开方数；2．能解决根式的化简问题；3．能解决分数指数幂与根式的互化及运算问题.重点：根式的概念以及对根式的化简；难点：分数指数幂与根式的互化以及运算问题.1．整数指数幂(1)整数指数幂的概念①an＝(n∈N＋)；②a0＝1(a≠0)；③a－n＝(a≠0，n∈N＋)．(2)整数指数幂的运算法则a＞0，b＞0，m，n∈N＋，①aman＝am＋n；②＝am－n(m＞n，a≠0)；③(am)n＝amn；④(ab)m＝ambm；⑤m＝(b≠0)．

2、2．根式(1)若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，就说x是a的n次方根．(2)当n是奇数时，数a的n次方根记作.(3)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根叫作算术根，记作.(4)式子叫作根式(n∈N，n≥2)，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．预习交流1()n与的含义相同吗？它们有何异同？提示：①对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a.当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时()n才有意义，且()n＝a(a≥0)．②对的理解：对任

3、意a∈R都有意义，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝

4、a

5、＝如＝－3，＝

6、－3

7、＝3.3．正数的分数指数幂(1)分数指数幂的意义①＝(a＞0)；②＝(a＞0，n，m∈N＋，且为既约分数)；③＝(a＞0，n，m∈N＋且为既约分数)．(2)分数指数幂的运算法则a＞0，b＞0，α，β∈Q，①aαaβ＝aα＋β；②(aα)β＝aαβ；③(ab)α＝aαbα.预习交流2将分数指数幂化为根式时，对幂指数有何要求？提示：在将分数指数幂化为根式时，应首先将化为一个最简分数，再按照分数指数幂的意义化为根式．例如：＝，＝＝.预习交流3以下运算

8、是否正确？.提示：不正确．在进行指数幂的运算时，若要用到指数幂的运算法则，必须注意幂的底数是正数的规定．当a＜0，b＜0时，运算法则(3)：(ab)α＝aαbα不再成立．4．正数的无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．一、根式的求值与化简求值或化简下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)(其中x＜0，y＜0，z＜0)．思路分析：根式的求值与化简问题，关键是去根号，去掉根号时一定要注意对根指数n分奇数和偶数进行讨论．解：(1)＝－3；(2)＝＝

9、＝；(3)＝

10、3－π

11、＝π－3；(4)＝－＝－＝－x2y3z4.对下列各式求值或化简：(1)；(2)()5；(3)；(4).解：(1)＝＝0.1；(2)()5＝－3；(3)＝＝

12、2x－1

13、＝(4)＝

14、3a－3

15、＝1．解决根式的求值与化简问题，要充分运用与()n这两个根式的运算结果，将原根式进行必要的变形，使之符合上述两种形式之一，然后再进行求值与化简．2．当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝

16、a

17、，因此一定要分清n的奇偶性．二、根式与分数指数幂的互化(1)将下列分数指数幂化为根式：，，；(2)将下列各式用分数指数幂的形式表示

18、：，，.思路分析：可按照分数指数幂的定义进行互化．解：(1)＝；＝；＝＝.(2)＝；；.1．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是(　　)．A．－＝B．＝－C．＝(x，y≠0)D．＝(x＜0)答案：C解析：，故A错；＝，故B错；＝＝，故C正确；，故D错．2．将下式化为分数指数幂的形式：.解：＝.三、分数指数幂与根式的化简与运算(1)化简下列各式：①；②.(2)求下列各式的值：①；②0.5＋0.1－2＋－3π0＋.思路分析：先将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算法则进行幂的乘方、乘除运算，最后再做加、减运算．解：(1)①原

19、式＝＝＝a－1＝；②原式＝＝＝a0＝1.(2)①原式＝＋－－·＝＋－－22＝－－1－4＝－5；②原式＝＋102＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.1．化简：(1)________(m＞0，n＞0)；(2)－＋＝________；(3)(a＞0)＝__________.答案：(1)　(2)　(3)解析：(1)；(2)原式＝－＋＝；(3)原式＝.2．化简或计算下列各式：(1)－－1×；(2)(x＞0，y＞0)；(3)．解：(1)原式＝－(3×1)－1×＝－×1－3＝0.(2)原式＝.(3)原式＝.1．若式子中既含有分数指数幂，又

20、含有根式，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，再利用有理指数幂的运算法则化简．2．在进行指数幂的运算时，通常要把负指数化为正指数，把小数化成分数，把大数化成小数再进行运算．3．在解决求值问题时，要注意掌握一些常用的平方数、立方数等．四、条件求值问题已知4x＋4－x＝m(m为常数)，求下列各