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《高中数学(基础预习+课堂探究+达标训练) 7.1 点的坐标导学案 湘教版必修3》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7.1 点的坐标1.点的位置表示:(1)先取一个点O作为基准点,称为原点.取定这个基准点之后,任何一个点P的位置就由O到P的向量唯一表示.称为点P的位置向量,它表示的是点P相对于点O的位置.(2)在平面上取定两个相互垂直的单位向量e1,e2作为基,则可唯一地分解为=xe1+ye2的形式,其中x,y是一对实数.(x,y)就是向量的坐标,坐标唯一地表示了向量,从而也唯一地表示了点P.2.向量的坐标:向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.3.基本公式:(1)前提条件:A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,M(x,y)为线段AB的中点.(
2、2)公式:①两点之间的距离公式
3、AB
4、=.②中点坐标公式,.4.定比分点坐标设A,B是两个不同的点,如果点P在直线AB上且=λ,则称λ为点P分有向线段所成的比.注意:当P在线段AB之间时,,方向相同,比值λ>0.我们也允许点P在线段AB之外,此时,方向相反,比值λ<0且λ≠-1.当点P与点A重合时λ=0.而点P与点B重合时不可能写成=0的实数倍.定比分点坐标公式:已知两点A(x1,y1),B(x2,y2),点P(x,y)分所成的比为λ.则重心的坐标:三角形重心的坐标等于三个顶点相应坐标的算术平均值,即.一、中点坐标公式的运用【例1】已知ABCD的两个顶点
5、坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线的交点为E(-3,4),求另外两个顶点C,D的坐标.平行四边形的对角线互相平分,交点为两个相对顶点的中点,利用中点公式求.解:设C(x1,y1),D(x2,y2).∵E为AC的中点,∴解得又∵E为BD的中点,∴解得∴C的坐标为(-10,6),D点的坐标为(-11,1).若M(x,y)是A(a,b)与B(c,d)的中点,则x=,y=.也可理解为A关于M的对称点为B,若求B,则可用变形公式c=2x-a,d=2y-b.1-1已知矩形ABCD的两个顶点坐标是A(-1,3),B(-2,4),若它的对角线交点M在x轴上,求
6、另外两个顶点C,D的坐标.解:如图,设点M,C,D的坐标分别为(x0,0),(x1,y1),(x2,y2),依题意得0=y1=-3;0=y2=-4;x0=x1=2x0+1;x0=x2=2x0+2.又∵
7、AB
8、2+
9、BC
10、2=
11、AC
12、2,∴(-1+2)2+(3-4)2+(-2-2x0-1)2+(4+3)2=(-1-2x0-1)2+(3+3)2.整理得x0=-5,∴x1=-9,x2=-8.∴点C,D的坐标分别为(-9,-3),(-8,-4).二、距离公式的运用【例2】已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(-3,2),C(0,5),则△ABC的周长
13、为( ).A.4B.8C.12D.16利用两点间的距离公式直接求解,然后求和.解析:∵A(4,1),B(-3,2),C(0,5),∴
14、AB
15、===5,
16、BC
17、===3,
18、AC
19、===4.∴△ABC的周长为
20、AB
21、+
22、BC
23、+
24、AC
25、=5+3+4=12.答案:C(1)熟练掌握两点间的距离公式,并能灵活运用.(2)注意公式的结构特征.若y2=y1,
26、AB
27、==
28、x2-x1
29、就是数轴上的两点间距离公式.2-1已知点A(-4,2),B(3,-2),则
30、AB
31、等于( ).A.B.C.D.解析:∵A(-4,2),B(3,-2),∴
32、AB
33、===.答案:A2-2以
34、A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( ).A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:∵
35、AB
36、==;
37、AC
38、==;
39、BC
40、==,∴
41、AB
42、=
43、AC
44、,但
45、AB
46、2+
47、AC
48、2≠
49、BC
50、2.∴△ABC是等腰三角形.答案:B三、定比分点问题【例3】已知a,b不共线,=a+b,=2a-b,将符合下列条件的向量写成ma+nb的形式.(1)点C分所成的比λ=2,求;(2)点C分所成的比λ=-3,求.解:(1)∵=λ,∴-=λ(-).∴=+.∴=+=(a+b)+(2a-b)=a-b.(2)=+=-(2a-b)+(a+b
51、)=a+2b.从定比分点的定义出发,通过把定义中的向量转化为所求向量找到解题途径.3-1已知O(0,0)和A(6,3)两点,点P在直线OA上,且=,又P是线段OB的中点,则点B的坐标是__________.解析:当P为分点,O,A为端点时,由=,即λ=.由定比分点的公式,得xP==2,yP==1.当P为分点,O,B为端点时,由P是OB的中点,得2=,1=,即得xB=4,yB=2,即B点的坐标是(4,2).答案:(4,2)3-2已知P1(-3,-6)和P2(3,0)两点,延长P2P1到P,使
52、P1P
53、=
54、P1P2
55、,则点P的坐标为________.解析:设
56、P(x,y),.∴由定比分点坐标公式得x=-7,y=-10.故P(-7,-10)