高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练） 7.1　点的坐标导学案 湘教版必修3

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1、7.1　点的坐标1．点的位置表示：(1)先取一个点O作为基准点，称为原点．取定这个基准点之后，任何一个点P的位置就由O到P的向量唯一表示.称为点P的位置向量，它表示的是点P相对于点O的位置．(2)在平面上取定两个相互垂直的单位向量e1，e2作为基，则可唯一地分解为＝xe1＋ye2的形式，其中x，y是一对实数．(x，y)就是向量的坐标，坐标唯一地表示了向量，从而也唯一地表示了点P.2．向量的坐标：向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标．3．基本公式：(1)前提条件：A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，M(x，y)为线段AB的中点．(

2、2)公式：①两点之间的距离公式

3、AB

4、＝.②中点坐标公式，.4．定比分点坐标设A，B是两个不同的点，如果点P在直线AB上且＝λ，则称λ为点P分有向线段所成的比．注意：当P在线段AB之间时，，方向相同，比值λ＞0.我们也允许点P在线段AB之外，此时，方向相反，比值λ＜0且λ≠－1.当点P与点A重合时λ＝0.而点P与点B重合时不可能写成＝0的实数倍．定比分点坐标公式：已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点P(x，y)分所成的比为λ.则重心的坐标：三角形重心的坐标等于三个顶点相应坐标的算术平均值，即.一、中点坐标公式的运用【例1】已知ABCD的两个顶点

5、坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线的交点为E(－3,4)，求另外两个顶点C，D的坐标．平行四边形的对角线互相平分，交点为两个相对顶点的中点，利用中点公式求．解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．∵E为AC的中点，∴解得又∵E为BD的中点，∴解得∴C的坐标为(－10,6)，D点的坐标为(－11,1)．若M(x，y)是A(a，b)与B(c，d)的中点，则x＝，y＝.也可理解为A关于M的对称点为B，若求B，则可用变形公式c＝2x－a，d＝2y－b.1－1已知矩形ABCD的两个顶点坐标是A(－1,3)，B(－2,4)，若它的对角线交点M在x轴上，求

6、另外两个顶点C，D的坐标．解：如图，设点M，C，D的坐标分别为(x0,0)，(x1，y1)，(x2，y2)，依题意得0＝y1＝－3；0＝y2＝－4；x0＝x1＝2x0＋1；x0＝x2＝2x0＋2.又∵

7、AB

8、2＋

9、BC

10、2＝

11、AC

12、2，∴(－1＋2)2＋(3－4)2＋(－2－2x0－1)2＋(4＋3)2＝(－1－2x0－1)2＋(3＋3)2.整理得x0＝－5，∴x1＝－9，x2＝－8.∴点C，D的坐标分别为(－9，－3)，(－8，－4)．二、距离公式的运用【例2】已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，则△ABC的周长

13、为(　　)．A．4B．8C．12D．16利用两点间的距离公式直接求解，然后求和．解析：∵A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，∴

14、AB

15、＝＝＝5，

16、BC

17、＝＝＝3，

18、AC

19、＝＝＝4.∴△ABC的周长为

20、AB

21、＋

22、BC

23、＋

24、AC

25、＝5＋3＋4＝12.答案：C(1)熟练掌握两点间的距离公式，并能灵活运用．(2)注意公式的结构特征．若y2＝y1，

26、AB

27、＝＝

28、x2－x1

29、就是数轴上的两点间距离公式．2－1已知点A(－4,2)，B(3，－2)，则

30、AB

31、等于(　　)．A．B．C．D．解析：∵A(－4,2)，B(3，－2)，∴

32、AB

33、＝＝＝.答案：A2－2以

34、A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是(　　)．A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：∵

35、AB

36、＝＝；

37、AC

38、＝＝；

39、BC

40、＝＝，∴

41、AB

42、＝

43、AC

44、，但

45、AB

46、2＋

47、AC

48、2≠

49、BC

50、2.∴△ABC是等腰三角形．答案：B三、定比分点问题【例3】已知a，b不共线，＝a＋b，＝2a－b，将符合下列条件的向量写成ma＋nb的形式．(1)点C分所成的比λ＝2，求；(2)点C分所成的比λ＝－3，求.解：(1)∵＝λ，∴－＝λ(－)．∴＝＋.∴＝＋＝(a＋b)＋(2a－b)＝a－b.(2)＝＋＝－(2a－b)＋(a＋b

51、)＝a＋2b.从定比分点的定义出发，通过把定义中的向量转化为所求向量找到解题途径．3－1已知O(0,0)和A(6,3)两点，点P在直线OA上，且＝，又P是线段OB的中点，则点B的坐标是__________．解析：当P为分点，O，A为端点时，由＝，即λ＝.由定比分点的公式，得xP＝＝2，yP＝＝1.当P为分点，O，B为端点时，由P是OB的中点，得2＝，1＝，即得xB＝4，yB＝2，即B点的坐标是(4,2)．答案：(4,2)3－2已知P1(－3，－6)和P2(3,0)两点，延长P2P1到P，使

52、P1P

53、＝

54、P1P2

55、，则点P的坐标为________．解析：设

56、P(x，y)，.∴由定比分点坐标公式得x＝－7，y＝－10.故P(－7，－10)