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《高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练） 7.3.1 圆的标准方程导学案 湘教版必修3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7.3.1 圆的标准方程1．圆的定义及标准方程圆的定义圆的标准方程圆是在平面上到一个固定点的距离等于一个固定长度的所有的点组成的集合．这个固定的点就是圆心．这个固定的长度就是半径．若圆心为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．几种特殊位置的圆的标准方程圆满足的条件圆的标准方程的形式圆心在原点，半径为r(r≠0)x2＋y2＝r2(r≠0)圆过原点，圆心为(a，b)(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)圆心在x轴上，半径为r(r≠0)(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圆心在
2、y轴上，半径为r(r≠0)x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圆心在y轴上且过原点x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)圆心在x轴上且过原点(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圆与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)圆与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)圆与两坐标轴都相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(
3、a
4、＝
5、b
6、≠0)(1)圆心在原点，半径为r的圆的方程是__________；圆心在点(－2,3)，半径为2的圆的方程是__________．提示：x2＋y2＝r2 (x＋2)2＋(y－3)2＝4(2
7、)已知圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝25，则圆心坐标为__________，半径为__________．提示：(3，－2) 5(3)若圆的方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，则此圆的半径一定是a吗？提示：不一定．若a＞0，则a是半径；若a＜0，则圆的半径为
8、a
9、.一、求圆的标准方程【例1】已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上．求此圆的方程．解法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件得即∴∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋
10、2)2＝10.解法二：由A(2，－3)，B(－2，－5)，得AB的中点(0，－4)，kAB＝，∴弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0.解方程组得∴圆心为(－1，－2)，半径r＝＝.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.这个类型的题目一般有两种解决思路：一是待定系数法，该思路直接，体现了方程的思想，是常用方法．二是由平面几何性质(如圆的任一条弦的垂直平分线均过圆心等)求得圆心坐标和半径，然后写出圆的标准方程．1－1圆心为(0，－2)，半径为3的圆的标准方程为( )．A．(x＋2)2＋y2＝
11、3 B．x2＋(y－2)2＝3C．(x－2)2＋y2＝9D．x2＋(y＋2)2＝9答案：D1－2已知圆C1的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝5，圆C2与圆C1是同心圆且过点A(5,0)，则圆C2的标准方程为________．解析：由圆C1的方程知圆心C1(－3,2)，因为圆C2与圆C1是同心圆，所以圆C2的圆心也为(－3,2)．可设圆C2的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝r2.又由圆C2过点A(5,0)，所以(5＋3)2＋(0－2)2＝r2，r2＝68.故圆C2的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝68.答案：(x＋3
12、)2＋(y－2)2＝681－3求满足下列各条件的圆的标准方程．(1)圆心为点C(3，－2)，半径是3；(2)圆心为点C(8，－3)，且经过点P(5,1)．解：(1)(x－3)2＋(y＋2)2＝9.(2)设圆的半径为r，则r2＝
13、CP
14、2＝(8－5)2＋(－3－1)2＝25，所以圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.二、点与圆的位置关系【例2】若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，求实数m的取值范围．从几何意义上考虑，圆内部的点到圆心的距离小于半径，反过来到圆心距离小于半径的点在圆内．解：圆心C(m，－
15、m)，半径r＝2.∵原点在圆内部，∴
16、CO
17、＜r，即
18、CO
19、2＜r2，∴(0－m)2＋(0＋m)2＜4.解得－＜m＜.将圆内的点的坐标代入圆的标准方程，把等号改为小于号即可，同理，在圆外的改为大于号，这些方法都体现了数形结合思想．2－1已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)为( )．A．圆心B．圆上的点C．圆内的点D．圆外的点解析：因为(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点P(3,2)在圆内．答案：C2－2若(2,2)在圆(x－a)2＋(y－a)2＝4的外部，则实数a的取值范围是________
20、．解析：∵(2,2)在圆(x－a)2＋(y－a)2＝4的外部，∴(2－a)2＋(2－a)2＞4.∴(2－a)2＞2.∴2－a＞或2－a＜－，即a＜2－或a＞2＋.答案：a＜2－或a＞2＋三、圆的方程的拓展应用【例3】实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求的最大值和最小值．解：
