高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）2.5.1 几种函数增长快慢的比较导学案 湘教版必修1

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1、2.5.1　几种函数增长快慢的比较学习目标重点难点1．能知道不同的函数增长的速度有所不同；2．会分析不同函数的增长速度的快慢；3．记住常见的指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长速度的不同.重点：常见函数如指数函数、对数函数、幂函数、一次函数增长速度的比较；难点：函数增长速度的比较.1．三种函数模型的性质2．三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)

2、的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.预习交流1对于指数函数y＝ax(a＞1)，底数a的大小怎样影响函数的增长速度？提示：底数a越大，函数增长得越快．预习交流2对于对数函数y＝logax(a＞1)，底数a的大小怎样影响函数的增长速度？提示：底数a越小，函数增长得越快．预习交流3对于幂函数y＝xα，其增长速度快慢与α的关系是怎样的？提示：对于幂函数y＝xα，当α越大时，其增长速度越大．预习交流4对于一次函数y＝kx＋b(k＞0)，其增长速度快慢与k的关系是怎样的？提示：k越大，增长速度越快．预习交流5就

3、指数函数、对数函数、幂函数而言，哪种增长速度最快？哪种最慢？提示：指数函数的增长速度最快，对数函数的增长速度最慢，幂函数的增长速度介于指数函数和对数函数之间．一、函数增长快慢的比较试利用图象比较y＝x2(x≥0)和y＝2x(x≥0)的增长情况．思路分析：先利用列表、描点、连线法画出两个函数的图象，再通过图象比较增长情况．解：列表如下：表1x0246810121416…y＝2x141664256102440961638465536…y＝x204163664100144196256…表2x010203040506070…y＝2x110241.05×1061.07×1091.10×10121.

4、13×10151.15×10181.18×1021…y＝x201004009001600250036004900…对应表1的图象如图1.对应表2的图象如图2.由图1可以看到，y＝2x和y＝x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)．结合图象可得：当x∈(0,2)时，2x＞x2；当x∈(2,4)时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2.当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎微不足道．结合函数y＝x2与y＝的图象可知，当x∈__________时，x2＜；当x∈(1，＋∞)时，x2__________.答案：(0,1)　＞解析：画出函数

5、y＝x2与y＝的图象(如图)．可知当x∈(0,1)时，x2＜；当x∈(1，＋∞)时，x2＞.对函数增长快慢的比较，可以先画出图象再通过其图象比较其增长情况．二、函数值大小比较比较下列各组值的大小：(1)与；(2)0.8－0.1与1.250.2.思路分析：可根据函数的图象或单调性比较大小．解：(1)因为在x∈(1，＋∞)时，的图象在图象的上方，所以.(2)1.250.2＝0.8－0.2，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为递减函数，所以0.8－0.1＜1.250.2.比较大小：(1)与log20.8；(2)与.解：(1)由对数的性质知＞0＞log20.8，所以＞

6、log20.8；(2)因为，且，所以.1．比较同底数的对数值大小，考虑利用对数函数的单调性；比较同真数的对数值大小，考虑对数函数的图象变换情况．2．比较同底数的指数值的大小，考虑利用指数函数的单调性．1．下列函数中，增长速度最快的是(　　)．A．y＝3xB．y＝2.7xC．y＝0.9xD．y＝1.1x答案：A解析：指数函数中，底数越大，增长速度越快，故选A．2．下列函数中，增长速度最慢的是(　　)．A．y＝log5xB．y＝log3xC．y＝log7xD．y＝log6x答案：C解析：对数函数中，当底数大于1时，底数越小，增长速度越快；底数越大，增长速度越慢，选C．3．函数y＝2x和y＝x

7、3的图象的交点个数为(　　)．A．1B．2C．3D．4答案：B4．设0＜x＜1，且有logax＜logbx＜0，则a，b的关系是(　　)．A．0＜a＜b＜1B．1＜a＜bC．0＜b＜a＜1D．1＜b＜a答案：B解析：结合对数函数的图象可知，当logax＜logbx＜0时，有1＜a＜b，选B．5．已知f(x)＝1.2x，g(x)＝x3，h(x)＝log2x，则可估计f(100)，g(100)，h(100)之间的大小关系为_______