高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）1.2.4 从解析式看函数的性质导学案 湘教版必修1

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1、1.2.4　从解析式看函数的性质学习目标重点难点1．能说出函数的上界、下界的含义，知道什么是有界函数，什么是无界函数；2．能说出函数的最大值与最小值的定义，知道什么是函数的最大值点和最小值点；3．能记住函数单调性的定义，知道什么是严格单调和严格单调区间；4．知道什么是差分，能运用差分检验函数的增减性.重点：函数单调性的定义，运用差分检验函数的增减性；难点：用差分检验函数的增减性；疑点：最值与上、下界之间的关系.1．函数的上界和下界(1)上界和下界：设D是函数f(x)的定义域，如果有实数B使得f(x)≤B对于一切x∈D成立，称B是函数f的一个

2、上界，如果有实数A使得f(x)≥A对于一切x∈D成立，称A是函数f的一个下界．(2)有上界又有下界的函数叫有界函数，否则叫无界函数．预习交流1函数的上界或下界一定是函数的某一个函数值吗？提示：不一定．函数的上界或下界可能是该函数的一个函数值，也可以不是函数的函数值．例如：函数y＝x2的下界是0，且0是该函数的一个函数值；而函数y＝的下界也是0，但0不是该函数的某个函数值．2．函数的最大值与最小值(1)函数的最大值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝

3、f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点．(2)函数的最小值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝b处取到最小值f(b)，称f(b)为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点．预习交流2函数的最大值或最小值一定是函数其中的一个函数值吗？提示：一定是．即最大值点或最小值点一定是函数定义域中的某个值．预习交流3函数的最大值(或最小值)唯一吗？最大值点(或最小值点)唯一吗？提示：最大值(或最小值)是唯一的，但最大值点(或最小值点)不一定是唯一的．预习交流4最

4、大值和上界是一回事吗？提示：不是．函数的最大值一定是上界，但上界不一定是函数的最大值；同理，函数的最小值一定是下界，但下界不一定是最小值．3．函数的单调性(1)函数的单调性定义：设I是f(x)定义域D的一个非空子集，如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的递增函数；如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的递减函数．(2)如果函数y＝f(x)是区间I上的递增函数或递减函数，就说f(x)在I上严格单调，区间I叫作f(x

5、)的严格单调区间．(3)对于函数f(x)，设h＞0，差式f(x＋h)－f(x)叫作函数在区间I上的差分．差分为正的函数就是递增函数，差分为负的函数就是递减函数．预习交流5函数的单调性是函数在其整个定义域上的性质吗？提示：不是．单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．预习交流6在增函数与减函数的定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？提示：不能．如图所示，虽然f(－1)＜f(2)，但原函数在[－1,2]上不是递增函数．一、判断或证明函数的单调性证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是

6、递增函数．思路分析：利用差分检验法，计算函数在(1，＋∞)上的差分f(x＋h)－f(x)，然后判断差分的正负即得结论．证明：f(x＋h)＝x＋h＋，∴f(x＋h)－f(x)＝x＋h＋－x－＝h＋－＝h－＝.∵h＞0，x＞1，∴hx2＋h2x－h＞0，x(x＋h)＞0.∴＞0.即差分f(x＋h)－f(x)＞0，∴f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数．1．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　)．A．f(x1)＜f(x2)B．f(x1)

7、＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定答案：D解析：因为在函数的定义中特别强调了x1，x2两个值必须属于同一个单调区间，不是同一单调区间时不能比较函数值的大小，因此，f(x1)与f(x2)的大小关系无法确定，故选D．2．证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上为单调递减函数．证明：f(x＋h)－f(x)＝－＝.∵x＞0，h＞0，∴＜0.即差分f(x＋h)－f(x)＜0，故f(x)＝在(0，＋∞)上为单调递减函数．证明函数单调性的步骤是：(1)作差分f(x＋h)－f(x)；(2)变形整理；(3)判断差分的符号；(4)下结论．二、求函数的

8、单调区间作出函数f(x)＝

9、2x－1

10、的图象，并写出其单调区间．思路分析：首先要将函数的解析式中的绝对值符号去掉，分两段分别画出图象，然后结合图象的上升与下降写出单调区间．解：当