2018版高考数学 专题1 集合与函数 1.2.4 从解析式看函数的性质学案 湘教版必修1

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1、1．2.4　从解析式看函数的性质[学习目标]　1.理解函数单调性的定义，了解有界函数、无界函数的定义.2.运用函数单调性的定义判断函数的单调性.3.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，体会函数最大值、最小值与单调性之间的关系及其几何意义.4.会利用函数的单调性求函数的最值．[知识链接]以下说法中：①函数y＝2x在R上为增函数；②函数y＝的单调递增区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)；③函数y＝x2＋2x－3的单调递增区间为(1，＋∞)．正确的有________．答案　①[预习导引]1．函数的上界和下界(1)上界和下界：设D是函数f(x)的定义域，如果有实数B使得f(x)≤B对一切x∈D

2、成立，称B是函数f的一个上界，如果有实数A使得f(x)≥A对一切x∈D成立，称A是函数f的一个下界．(2)有上界又有下界的函数叫有界函数，否则叫无界函数．2．函数的最大值与最小值(1)函数的最大值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点．(2)函数的最小值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝b处取到最小值f(b)，称f(b)为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值

3、点．3．函数的单调性(1)函数的单调性定义：设I是f(x)定义域D的一个非空子集，如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的递增函数；如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的递减函数．(2)如果函数y＝f(x)是区间I上的递增函数或递减函数，就说f(x)在I上严格单调，区间I叫作f(x)的严格单调区间．(3)对于函数f(x)，设h＞0，差式f(x＋h)－f(x)叫作函数在区间I上的差分．差分为正的函数就是递增函数，差分为负的函数就是递减函数.要点一　判断或证

4、明函数的单调性例1　证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数．证明　f(x＋h)＝x＋h＋，∴f(x＋h)－f(x)＝x＋h＋－x－＝h＋－＝h－＝.∵h＞0，x＞1，∴hx2＋h2x－h＞0，x(x＋h)＞0.∴＞0.即差分f(x＋h)－f(x)＞0，∴f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数．规律方法　证明函数单调性的步骤是：(1)作差分f(x＋h)－f(x)；(2)变形整理；(3)判断差分的符号；(4)下结论．跟踪演练1　(1)设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　

5、　)A．f(x1)＜f(x2)　　　　　B．f(x1)＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定(2)证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上为单调递减函数．(1)答案　D解析　因为在函数的定义中特别强调了x1，x2两个值必须属于同一个单调区间，不是同一单调区间时不能比较函数值的大小，因此，f(x1)与f(x2)的大小关系无法确定，故选D.(2)证明　f(x＋h)－f(x)＝－＝，∵x＞0，h＞0，∴＜0.即差分f(x＋h)－f(x)＜0，故f(x)＝在(0，＋∞)上为单调递减函数．要点二　求函数的单调区间例2　分别作出下列函数图象，写出它们的单调区间．(1)y＝x2＋2x；(2

6、)y＝2

7、x

8、；(3)y＝－x2＋2

9、x

10、＋3.解　(1)函数y＝x2＋2x在(－∞，－1]上是递减函数，在[－1，＋∞)上是递增函数．(2)y＝2

11、x

12、＝图象如图：函数y＝2

13、x

14、在(－∞，0]上是递减函数，在[0，＋∞)上是递增函数．(3)∵f(x)＝图象如图：函数y＝－x2＋2

15、x

16、＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是递增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是递减函数．规律方法　利用函数的图象确定函数的单调区间，具体的做法是，先化简函数的解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定，

17、习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间．跟踪演练2　作出函数y＝x

18、x

19、＋1的图象并写出其单调区间．解　由题意可知y＝作出函数的图象如图所示，所以原函数在(－∞，＋∞)上为单调递增函数．要点三　函数单调性的应用例3　已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的递增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．解　因为f(x)是定义在[－1,1]上的递增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，所以有解得即x的取值范围是1