高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）3.3.2 正切函数的图象与性质精品导学案 湘教版必修2

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1、3.3.2　正切函数的图象与性质学习目标重点难点1．能说出正切函数y＝tanx的定义域、值域、单调区间、奇偶性等性质；2．能画出正切曲线的大致图象；3．能根据正切函数的单调性比较函数值的大小；4．会求正切函数的定义域、单调区间等.重点：正切函数的图象以及正切函数单调区间的求解；难点：利用正切函数单调性比较函数值的大小.1．正切函数的图象正切曲线如下图：预习交流1正切曲线与正弦曲线、余弦曲线相比，有什么特点？提示：正切曲线不是连续的一条曲线，而是由一些相互平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，它不具有有界性，向上和向下都是无限延伸的．预习交流2如何作出正切曲线在一个周

2、期上的图象？提示：可用类似于“五点法”的“三点两线法”作简图，这里三个点为(kπ，0)，，，两线为直线x＝kπ＋，直线x＝kπ－(其中k∈Z)，作出这三个点和这两条渐近线，便可得到y＝tanx在一个周期上的简图．2．正切函数的性质(1)正切函数y＝tanx的定义域是，值域为R；(2)正切函数y＝tanx的图象与x轴的交点的横坐标是kπ，k∈Z；(3)正切函数y＝tanx在每一个开区间(k∈Z)内单调递增；(4)正切函数y＝tanx在定义域上是奇函数．预习交流3正切曲线具有怎样的对称性？提示：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是(k∈Z)．正切函数无对称

3、轴．预习交流4能否说正切函数在其定义域内是单调增函数？提示：函数的单调性是相对于某一区间而言的，虽然y＝tanx，x≠＋kπ，k∈Z在每一个区间(k∈Z)上是单调增函数，但并不能说在整个定义域上是单调递增函数，如虽然＞，但tan＜tan.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、正切函数的定义域与值域(1)求函数f(x)＝2tanx·cosx的定义域与值域．(2)求函数y＝tan2x－2tanx－4的最值．思路分析：对于(1)，可先求定义域，然后化简解析式，再求值域．对于(2)，可利用换元法求最值．(1)解：函数定义域是.当x≠＋k

4、π(k∈Z)时，f(x)＝2··cosx＝2sinx，而sinx∈(－1,1)，∴2sinx∈(－2,2)，即函数的值域是(－2,2)．(2)解：令t＝tanx，则t∈R.y＝t2－2t－4＝(t－1)2－5，因此当t＝1时y取最小值－5，无最大值，故原函数当tanx＝1时取到最小值－5，无最大值．1．函数f(x)＝的定义域是__________．答案：解析：要使函数有意义，应有即x≠＋kπ，且x≠＋kπ(k∈Z)．即定义域为.2．函数y＝2tan2x－1的值域为__________．答案：[－1，＋∞)解析：由于tanx∈R，所以tan2x≥0.因此2tan2x－1≥－1，故函数值域

5、是[－1，＋∞)．求正切函数的定义域与值域，注意y＝tanx的定义域是，值域为R.求含有正切函数的代数式值域时，可采用换元法，此时注意新元的取值范围．二、求正切函数的单调区间求函数y＝tan的单调区间．思路分析：先对函数解析式进行化简，再用整体换元法，利用正切函数单调性求所给函数的单调区间．解：y＝tan＝－tan.由－＋kπ＜3x＋＜＋kπ，得－＜x＜＋(k∈Z)．所以函数y＝tan的单调递减区间为(k∈Z)．求函数y＝tan的单调区间．解：y＝tan＝－tan，由kπ－＜x－＜kπ＋，得2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)．∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)．求函数y＝Atan

6、(ωx＋φ)的单调区间可由－＋kπ＜ωx＋φ＜＋kπ(k∈Z)求得，但要注意，A、ω的符号对单调性的影响，若x的系数为负，可先用诱导公式将其变为正数，再求单调区间．三、利用正切函数单调性比较正切值的大小不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：(1)tan138°与tan143°；(2)tan与tan.思路分析：分析所给两个正切值中的角是否在同一个单调区间内，若在同一单调区间，可利用单调性比较，若不在同一单调区间，应先用诱导公式转化．解：(1)∵90°＜138°＜143°＜270°且y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数，∴tan138°＜tan143°.(2)∵tan

7、＝tan，tan＝tan，且y＝tanx在上是增函数．又∵－＜－＜－＜，∴tan＜tan，故tan＜tan.比较下列各组中两个正切值的大小：(1)tan与tan；(2)tan(－80°)与tan290°.解：(1)由于－＜－π＜－＜－，所以tan＜tan.(2)由于tan(－80°)＝tan100°，tan290°＝tan110°，而90°＜100°＜110°＜270°，∴tan100°＜tan110°，即tan(－80°)＜tan290°.比