高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）4.5.1 向量的数量积精品导学案 湘教版必修2

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1、4.5.1　向量的数量积学习目标重点难点1．能记住向量数量积的定义；2．能说出向量数量积的运算律；3．能进行向量数量积的运算，会求两个向量的数量积及夹角.重点：向量数量积的定义及运算；难点：向量数量积的运算；疑点：向量数量积与实数乘法以及向量与实数相乘的区别.1．向量的数量积(1)定义：设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，取值范围是[0，π]，则定义a·b＝

2、a

3、

4、b

5、cos〈a，b〉称为a与b的数量积．(2)两个向量的数量积是实数而不是向量．(3)数量积a·b也称为a与b的内积．(4)数量积a·b一定要在a与b之间用一点“·”表示，因此也称为“点积

6、”或“点乘”，不能将a·b写成a×b或ab.(5)向量a，b的夹角规定为a，b之间所夹的最小非负角，用〈a，b〉表示，其取值范围规定为[0，π]，且有〈a，b〉＝〈b，a〉．(6)如果a，b共线，则有a·b＝(7)当a，b之中有一个为零时，它们的夹角〈a，b〉没有确定的值，但a，b仍有确定的值0，即a·b＝0.预习交流1向量的数量积是一个实数，它的正负与什么有关？提示：由a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cos〈a，b〉知，当a·b＞0时，〈a，b〉∈；当a·b＜0时，〈a，b〉∈；当a·b＝0时，〈a，b〉＝，因此a·b取值的正负由这两个向量的夹角所决定．预习交流2由a·b

11、＝0一定能推出a或b是零向量吗？提示：不一定，当a·b＝0时，可能有a≠0，b≠0，而〈a，b〉＝，此时a⊥b.预习交流3在△ABC中，与的夹角是什么？与的夹角等于B吗？提示：〈，〉＝A，但〈，〉≠B，而是〈，〉＝π－B，一定要注意向量的方向．2．向量数量积的运算律数量积满足如下的运算律：(1)交换律：a·b＝b·a，对任意向量a，b成立；(2)与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，对任意向量a，b和实数λ成立；(3)分配律(distributivelaw)：(a＋a′)·b＝a·b＋a′·b，对任意向量a，a′，b成立．预习交流4实数运算中满足消去律，即

12、若a，b，c为实数，当b≠0时，由ab＝bc可得a＝c；那么在数量积运算中，当a，b，c为向量，且b≠0时，由a·b＝b·c能否可得a＝c?提示：对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·ca＝c.由图很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.预习交流5向量的数量积运算是否满足结合律(a·b)c＝a(b·c)呢？提示：对于实数a，b，c有(ab)c＝a(bc)；但对向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)未必成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．在

13、预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、向量的夹角问题在正方形ABCD中，两对角线AC与BD相交于点O，求：(1)与的夹角；(2)与的夹角；(3)与的夹角；(4)与的夹角．思路分析：按照向量夹角的定义，以及正方形的性质求解．解：(1)，反向共线，故〈，〉＝π；(2)〈，〉＝∠BAC＝；(3)与垂直，故〈，〉＝；(4)〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.在等边△ABC中，求(1)〈，〉；(2)〈，〉；(3)〈，〉．解：(1)〈，〉＝；(2)〈，〉＝π－〈，〉＝；(3)〈，〉＝〈，〉＝.求两个向量的夹角时，一定要注意向量

14、的方向，通常把两个向量平移到共同的起点，再求它们之间的夹角．二、向量数量积的计算已知

15、a

16、＝4，

17、b

18、＝5，当(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．思路分析：已知

19、a

20、与

21、b

22、，求a·b，只需确定其夹角θ.注意当a∥b时，有θ＝0°和θ＝180°两种可能．解：(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝

23、a

24、

25、b

26、cos0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝

27、a

28、

29、b

30、cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°.∴a·b＝

31、a

32、

33、b

34、cos90°＝0.(3)当a与b的

35、夹角为30°时，a·b＝

36、a

37、

38、b

39、cos30°＝4×5×＝10.1．已知a·b＝6，

40、a

41、＝3，a和b的夹角为45°，则

42、b

43、＝________.答案：4解析：由题意知6＝3

44、b

45、cos45°，∴

46、b

47、＝4.2．在边长为2的正方形ABCD中，·＝______.答案：4解析：依题意

48、

49、＝2，

50、

51、＝2，〈，〉＝，于是·＝2×2×cos＝4.求两个向量数量积的关键是求出两个向量的模以及它们之间的夹角，然后利用数量积的定义进行计算．三、利用数量积求两个向量的夹角在等腰△ABC中，已知AB=AC=6，·=－18，求∠B的大小．思路分析：先由数量积的定义求出∠A的大小，再

52、求∠B．解：因为·=

53、

54、