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时间:2018-12-17
《高中数学(基础预习+课堂探究+达标训练)4.5.1 向量的数量积精品导学案 湘教版必修2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.5.1 向量的数量积学习目标重点难点1.能记住向量数量积的定义;2.能说出向量数量积的运算律;3.能进行向量数量积的运算,会求两个向量的数量积及夹角.重点:向量数量积的定义及运算;难点:向量数量积的运算;疑点:向量数量积与实数乘法以及向量与实数相乘的区别.1.向量的数量积(1)定义:设a,b是任意两个向量,〈a,b〉是它们的夹角,取值范围是[0,π],则定义a·b=
2、a
3、
4、b
5、cos〈a,b〉称为a与b的数量积.(2)两个向量的数量积是实数而不是向量.(3)数量积a·b也称为a与b的内积.(4)数量积a·b一定要在a与b之间用一点“·”表示,因此也称为“点积
6、”或“点乘”,不能将a·b写成a×b或ab.(5)向量a,b的夹角规定为a,b之间所夹的最小非负角,用〈a,b〉表示,其取值范围规定为[0,π],且有〈a,b〉=〈b,a〉.(6)如果a,b共线,则有a·b=(7)当a,b之中有一个为零时,它们的夹角〈a,b〉没有确定的值,但a,b仍有确定的值0,即a·b=0.预习交流1向量的数量积是一个实数,它的正负与什么有关?提示:由a·b=
7、a
8、
9、b
10、cos〈a,b〉知,当a·b>0时,〈a,b〉∈;当a·b<0时,〈a,b〉∈;当a·b=0时,〈a,b〉=,因此a·b取值的正负由这两个向量的夹角所决定.预习交流2由a·b
11、=0一定能推出a或b是零向量吗?提示:不一定,当a·b=0时,可能有a≠0,b≠0,而〈a,b〉=,此时a⊥b.预习交流3在△ABC中,与的夹角是什么?与的夹角等于B吗?提示:〈,〉=A,但〈,〉≠B,而是〈,〉=π-B,一定要注意向量的方向.2.向量数量积的运算律数量积满足如下的运算律:(1)交换律:a·b=b·a,对任意向量a,b成立;(2)与数乘的结合律:(λa)·b=λ(a·b),对任意向量a,b和实数λ成立;(3)分配律(distributivelaw):(a+a′)·b=a·b+a′·b,对任意向量a,a′,b成立.预习交流4实数运算中满足消去律,即
12、若a,b,c为实数,当b≠0时,由ab=bc可得a=c;那么在数量积运算中,当a,b,c为向量,且b≠0时,由a·b=b·c能否可得a=c?提示:对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·ca=c.由图很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c.预习交流5向量的数量积运算是否满足结合律(a·b)c=a(b·c)呢?提示:对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc);但对向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)未必成立,这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)未必成立.在
13、预习中,还有哪些问题需要你在听课时加以关注?请在下列表格中做个备忘吧!我的学困点我的学疑点一、向量的夹角问题在正方形ABCD中,两对角线AC与BD相交于点O,求:(1)与的夹角;(2)与的夹角;(3)与的夹角;(4)与的夹角.思路分析:按照向量夹角的定义,以及正方形的性质求解.解:(1),反向共线,故〈,〉=π;(2)〈,〉=∠BAC=;(3)与垂直,故〈,〉=;(4)〈,〉=π-〈,〉=π-=.在等边△ABC中,求(1)〈,〉;(2)〈,〉;(3)〈,〉.解:(1)〈,〉=;(2)〈,〉=π-〈,〉=;(3)〈,〉=〈,〉=.求两个向量的夹角时,一定要注意向量
14、的方向,通常把两个向量平移到共同的起点,再求它们之间的夹角.二、向量数量积的计算已知
15、a
16、=4,
17、b
18、=5,当(1)a∥b,(2)a⊥b,(3)a与b的夹角为30°时,分别求a与b的数量积.思路分析:已知
19、a
20、与
21、b
22、,求a·b,只需确定其夹角θ.注意当a∥b时,有θ=0°和θ=180°两种可能.解:(1)a∥b,若a与b同向,则θ=0°,a·b=
23、a
24、
25、b
26、cos0°=4×5=20;若a与b反向,则θ=180°,∴a·b=
27、a
28、
29、b
30、cos180°=4×5×(-1)=-20.(2)当a⊥b时,θ=90°.∴a·b=
31、a
32、
33、b
34、cos90°=0.(3)当a与b的
35、夹角为30°时,a·b=
36、a
37、
38、b
39、cos30°=4×5×=10.1.已知a·b=6,
40、a
41、=3,a和b的夹角为45°,则
42、b
43、=________.答案:4解析:由题意知6=3
44、b
45、cos45°,∴
46、b
47、=4.2.在边长为2的正方形ABCD中,·=______.答案:4解析:依题意
48、
49、=2,
50、
51、=2,〈,〉=,于是·=2×2×cos=4.求两个向量数量积的关键是求出两个向量的模以及它们之间的夹角,然后利用数量积的定义进行计算.三、利用数量积求两个向量的夹角在等腰△ABC中,已知AB=AC=6,·=-18,求∠B的大小.思路分析:先由数量积的定义求出∠A的大小,再
52、求∠B.解:因为·=
53、
54、
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