高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时导学案 湘教版必修1

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1、2.2.3　对数函数的图象和性质第1课时　反函数及对数函数的概念学习目标重点难点1．知道什么是反函数；2．会求一些简单函数的反函数；3．能记住对数函数的定义，会判断一个函数是否是对数函数；4．知道互为反函数的两个函数图象间的关系.重点：对数函数的定义，会求一些简单函数的反函数；难点：互为反函数的两个函数图象的特点.1．对数函数的概念一般说来，把由对数运算确定的函数y＝logax(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a为底的)对数函数．预习交流1怎样判断一个函数是否是对数函数？提示：根据对数函数的定义

2、，只有严格符合y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)形式的函数才是对数函数．例如y＝log5x(x＞0)是对数函数，而y＝log3(2x)(x＞0)以及y＝log2(x－1)、y＝2log2x等都不是对数函数．2．指数函数与对数函数的关系函数y＝ax(a＞0，a≠1)与y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数，这时，指数函数y＝ax的定义域R是对数函数y＝logax的值域，而指数函数y＝ax的值域(0，＋∞)，是对数函数y＝logax的定义域．3．反函数(1)反函数的求法要求函数y＝f(x)

3、的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式．如果这种形式是唯一的确定的，就得到f(x)的反函数g(x)．(2)互为反函数的两个函数的图象在同一坐标系内关于直线y＝x对称．预习交流2函数y＝x2是否具有反函数？提示：在函数y＝x2中，将x与y换位得到x＝y2，解得y＝±，这种形式不是唯一的，故原函数没有反函数．预习交流3互为反函数的两个函数的单调性有何关系？提示：两者中一个递增另一个也递增，一个递减另一个也递减．一、对数函数的概念已知函数f(x)是对数函

4、数，则对f(x)定义域内的任意自变量a，b，给出下列结论：①f(ab)＝f(a)f(b)；②f(a＋b)＝f(a)f(b)；③f(ab)＝f(a)＋f(b)；④f(a2)＝2f(a)；⑤f(0)＝1；⑥f(1)＝0.其中正确结论的序号是__________．思路分析：根据f(x)是对数函数，设出其解析式，然后结合对数的运算法则逐一进行判断．答案：③④⑥解析：∵f(x)是对数函数，∴可设f(x)＝logdx(d＞0且d≠1)．因此f(ab)＝logdab＝logda＋logdb＝f(a)＋f(b)

5、，f(a2)＝logda2＝2logda＝2f(a)．f(1)＝logd1＝0.故结论③④⑥正确，其余均错．1．下列函数中是对数函数的是__________．①y＝logx2，②y＝log8x，③y＝lnx，④y＝lg(x＋2)，⑤y＝log2x＋1.答案：②③2．若f(x)是对数函数，且f(3)＝－1，则f＝__________.答案：2解析：设f(x)＝logax，由f(3)＝－1得loga3＝－1，∴a＝.于是f＝＝2.1．对数函数的定义同指数函数的定义一样，是形式化的定义，必须严格符合对

6、数函数定义形式的函数才是对数函数．2．研究对数函数的解析式时，要注意结合对数的运算法则进行推理与判断．二、求函数的反函数求下列函数的反函数：(1)y＝log4x；(2)y＝x；(3)y＝2－5x；(4)y＝log2(x－2)．思路分析：按照求反函数的一般步骤：对换x与y，解出y，得到反函数．解：(1)将x与y换位得x＝log4y，解得y＝4x，故反函数为g(x)＝4x；(2)将x与y换位得x＝y，解得，故反函数为；(3)将x与y换位得x＝2－5y，解得y＝－x，故反函数为g(x)＝－x；(4)将

7、x与y换位得x＝log2(y－2)，解得y＝2x＋2，故反函数为g(x)＝2x＋2.求下列函数的反函数：(1)y＝；(2)y＝32x＋6；(3)y＝log3x＋2.解：(1)将x与y换位得x＝，解得y＝，故反函数是g(x)＝；(2)将x与y换位得x＝32y＋6，解得y＝log3x－3，故反函数是g(x)＝log3x－3；(3)将x与y换位得x＝log3y＋2，解得y＝3x－2，故反函数是g(x)＝3x－2.1．求一个函数的反函数时，一般可按照如下步骤进行：(1)将解析式中的x与y对换；(2)将对

8、换后的式子中的y解出来；(3)得到反函数y＝g(x)．2．并不是每一个函数都有反函数，若在解y的时候，y的结果不唯一，那么它就不具有反函数．3．原函数是一个与指数函数或对数函数有关的函数时，需要充分利用指数式与对数式之间的关系求y.三、利用原函数与反函数图象的对称性解题若点A(1,2)既在函数f(x)＝的图象上，又在f(x)的反函数的图象上，求a，b的值．思路分析：由题目可获取以下主要信息：(1)点A(1,2)在函数f(x)＝的图象上；(2)点A(1,2)在函数f(x)的反函数图象上．解答本题先