高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）1.2.8 二次函数的图象和性质 对称性 湘教版必修1

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1、1.2.8　二次函数的图象和性质——对称性学习目标重点难点1．能说出奇函数和偶函数的定义；2．会判断具体函数的奇偶性；3．会分析二次函数图象的对称性；4．能求一个二次函数在闭区间上的最值.重点：知道奇函数、偶函数的定义，会判断函数的奇偶性，能运用奇偶性解决简单的问题．难点：二次函数的区间最值问题.1．函数的奇偶性(1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)成立，则称F(x)为偶函数；(2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数．预习交流1奇函数和偶函数的定义域具有什么特点？提示

2、：奇函数和偶函数的定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提条件．若一个函数的定义域不关于原点对称，则它一定是非奇非偶函数．预习交流2如果一个函数是奇函数，且在x＝0时有定义，那么能否求得f(0)的值？提示：必有f(0)＝0.因为f(－0)＝－f(0)＝f(0)，从而f(0)＝0.预习交流3是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？提示：存在．所有定义域关于原点对称，解析式经化简后为零的函数既是奇函数又是偶函数，例如：y＝＋，y＝＋等就是既奇又偶函数．2．二次函数图象的对称性(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝－；(2)如果函数f(x)对任意

3、的h都有f(s＋h)＝f(s－h)，那么f(x)的图象关于直线x＝s对称．预习交流4二次函数图象的对称轴与二次函数的单调性、最值有何关系？提示：二次函数的单调性与对称轴有关，在对称轴两侧的单调性恰好相反；二次函数的最值恰好在对称轴处取得，若开口向上，则在对称轴处取最小值，反之取最大值．一、函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝

4、x＋2

5、＋

6、x－2

7、；(3)f(x)＝x2＋；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝＋.思路分析：根据定义判断函数的奇偶性时，首先看定义域是否关于原点对称，即定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提；然后判断表达式f(

8、－x)与f(x)之间的关系，若总满足f(－x)＝－f(x)，则为奇函数，若总满足f(－x)＝f(x)，则为偶函数．解：(1)函数定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数；(2)函数定义域为R，且f(－x)＝

9、－x＋2

10、＋

11、－x－2

12、＝

13、x－2

14、＋

15、x＋2

16、＝f(x)，所以该函数是偶函数；(3)函数定义域是{x

17、x≥0}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；(4)函数定义域是{x

18、x≠－1}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；(5)要使函数有意义，需满足解得x＝±2，即函数的定义域是{2，－2}，这时f(x)＝

19、0.所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，因此该函数既是奇函数又是偶函数．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝(x2－1).解：(1)函数定义域为R，且f(－x)＝＝＝－f(x)．故该函数是奇函数；(2)函数定义域为{x

20、x≠±1}，关于原点对称，且f(－x)＝＝＝f(x)．故f(x)是偶函数．(3)函数定义域是{x

21、x≥－1}，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数．1．判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f

22、(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．(3)还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)2．判断函数奇偶性前，不宜盲目化简函数解析式，若必须化简，要在定义域的限制之下进行，否则很容易影响判断，得到错误结果．

23、二、函数奇偶性的简单应用(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　　)．A．－3B．－1C．1D．3(2)若函数f(x)＝x3＋3x＋a是奇函数，则实数a＝__________.思路分析：对于(1)，可根据f(x)是奇函数得f(1)＝－f(－1)，而f(－1)的值可代入解析式求值；对于(2)，可按照奇函数的定义求解．也可由f(0)＝0求得a的值．答案：(1)A　(2)0解析：(1)因为当x≤0时，f(x)＝2x2－x，所以f(－1)＝