《1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性》课件

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1、1.2.8二次函数的图象和性质——对称性[学习目标]1．能说出奇函数和偶函数的定义；2．会判断具体函数的奇偶性；3．会分析二次函数图象的对称性；4．能求一个二次函数在闭区间上的最值．预习导学[知识链接]函数y＝x的图象关于对称，y＝x2的图象关于对称．[预习导引]1．函数的奇偶性(1)如果对一切使F(x)有定义的x，也有定义，并且成立，则称F(x)为偶函数；(2)如果对一切使F(x)有定义的x，也有定义，并且成立，则称F(x)为奇函数．预习导学原点y轴F(－x)F(－x)＝F(x)F(－x)F(－x)＝－F(x)预习导学f(s＋h)＝f

2、(s－h)课堂讲义解(1)函数定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数；(2)函数定义域为R，且f(－x)＝

3、－x＋2

4、＋

5、－x－2

6、＝

7、x－2

8、＋

9、x＋2

10、＝f(x)，所以该函数是偶函数；(3)函数定义域是{x

11、x≥0}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；(4)函数定义域是{x

12、x≠－1}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；课堂讲义课堂讲义规律方法1.判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义

13、域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．课堂讲义(3)还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)2．判断函数奇

14、偶性前，不宜盲目化简函数解析式，若必须化简，要在定义域的限制之下进行，否则很容易影响判断，得到错误结果．课堂讲义课堂讲义课堂讲义要点二　函数奇偶性的简单应用例2(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3(2)若函数f(x)＝x3＋3x＋a是奇函数，则实数a＝________.答案(1)A(2)0课堂讲义解析(1)因为当x≤0时，f(x)＝2x2－x，所以f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3.又f(x)是奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－3，选A.(2)法一

15、　因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)对任意x∈R都成立，即－x3－3x＋a＝－x3－3x－a对任意x∈R都成立．所以a＝0.课堂讲义法二　因为f(x)是奇函数且在x＝0处有定义．必有f(0)＝0，即03＋3×0＋a＝0，解得a＝0.规律方法1.利用奇偶性求值时，主要根据f(x)与f(－x)的关系将未知转化为已知求解，若需要借助解析式求值，代入自变量值时，该自变量值必须在该解析式对应的区间上，否则不能代入求值，而应转化．2．已知函数是奇函数或偶函数，求解析式中参数值时，通常有两种方法：一是利用奇、偶函数的定义建立关于参数的方

16、程求解，二是采用特殊值法，尤其是在x＝0处有定义的奇函数，还可根据f(0)＝0求解．课堂讲义跟踪演练2(1)已知f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为()A．5B．10C．8D．不确定(2)若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝()A．－2B．－1C．1D．2答案(1)B(2)C课堂讲义解析(1)∵f(x)是偶函数，∴f(4)＋f(－4)＝f(4)＋f(4)＝2f(4)＝2×5＝10.(2)因为f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)对任意x∈R都成立，即(－x＋1)(－x－a)＝(x＋1)(x－a)．

17、整理得2(a－1)x＝0，∵x∈R，∴必有a－1＝0，即a＝1.课堂讲义要点三　二次函数的区间最值问题例3已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)用a表示出函数f(x)在区间[－5，5]上的最值．解(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，因为1∈[－5，5]时，故当x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(1)＝1；当x＝－5时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(－5)＝(－5－1)2＋1＝37.课堂讲义(2)函数f(x)＝x2

18、＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图象开口向上，对称轴为x＝－a.①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5，5]上递增，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－5)＝27－