《1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性》课件3

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1、【课标要求】《1.2.8二次函数的图象和性质——对称性》课件掌握函数的奇偶性的定义和判断方法．理解奇函数和偶函数的图象的特点．掌握二次函数图象的对称性及二次函数图象的分类．1．2．3．奇、偶函数的定义(1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且____________成立，则称F(x)为偶函数；(2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且______________成立，则称F(x)为奇函数．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象是以_____为对称轴的轴对称图形，奇函数的图象是以

2、_____为对称中心的中心对称图形．自学导引1．2．F(－x)＝F(x)F(－x)＝－F(x)y轴原点缺少一次项的二次函数y＝ax2＋c是偶函数，其图象是以_____为对称轴的轴对称图形．如果函数F(x)有一条平行于y轴的对称轴，对称轴和x轴交点的坐标是(s，0)，则对任意的h，有________________反之亦然．4．y轴F(s＋h)＝F(s－h)轴六x轴(x0，0)上恒正(3)如Δ＞0，图象和x轴交于两点(x1，0)和(x2，0)，这里x1＜x2，是方程______________的两个不等实根．对应

3、于x∈_______，图象在x轴下方，当x在_______之外时，图象在x轴上方．ax2＋bx＋c＝0(x1，x2)[x1，x2]判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢？提示由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称．即：如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性．例如：函数f(x)＝x3在R上是奇函数，但在[－2，1]上既不是

4、奇函数也不是偶函数．自主探究1．有没有既是奇函数又是偶函数的函数？提示有．如f(x)＝0，x∈(－5，5)．2．解析结合图象知选项为D.答案D预习测评二次函数y＝－x2－6x＋k的图象的顶点在x轴上，则k的值为()．A．－9B．9C．3D．－3解析∵y＝－(x＋3)2＋k＋9，∴k＋9＝0，k＝－9.答案A设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝______．答案－12．3．若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝______．答案64．定义法：若函数的定义域

5、不是关于原点对称的，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f(－x)＝±f(x)之一是否成立．名师点睛1．判断函数奇偶性的常用方法图象法：奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(y轴)对称．性质法：利用性质来判断，即利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性来判断．即：(1)在公共定义域内，偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．

6、(2)对于复合函数F(x)＝f[g(x)]：若g(x)为偶函数，则F(x)为偶函数；若g(x)为奇函数，f(x)为奇函数，则F(x)为奇函数；若g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则F(x)为偶函数．3．4．警示在判断函数的奇偶性时，容易忽视函数的定义域是否关于原点对称这一前提条件，从而导致做无用功(即浪费时间和精力，又判断失误而出错)．已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1.(1)求f(x)的解析式；(2)作出函数f(x)的图象．解(1)设x<0，由于f(x)是奇函数，故f(x)

7、＝－f(－x)，又－x>0，由已知有f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.所以－f(－x)＝2x2＋3x－1.又f(0)＝0，题型一函数奇偶性的应用【例1】典例剖析点评利用奇、偶函数图象的对称性，可以画出图象的另一半，从而可以减少工作量．本题容易将f(0)＝0遗漏掉．【变式1】即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)由题易知函数f(x)的定义域{x

8、x≠0}，关于原点对称，①当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．②当x<0时

9、，－x>0，∴f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．点评(1)判定函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化简、整理，再与f(x)比较得出结论．(2)分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其奇偶性.已知二次函数f(