高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值导学案 湘教版必修1

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1、1.2.7　二次函数的图象和性质——增减性和最值学习目标重点难点1．会分析一个具体的二次函数的图象的开口方向和顶点坐标；2．能作出二次函数的图象；3．会分析二次函数的单调性和最值；4．能运用二次函数解决简单的实际问题.重点：会分析二次函数的单调性和最值；难点：运用二次函数解决实际问题.定理二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，当a＞0(a＜0)时，在区间上递减(递增)，在上递增(递减)，图象曲线开口向上(下)，在x＝－处取到最小(大)值f＝－，这里Δ＝b2－4ac.预习交流1二次函数在

2、其定义域区间上具有单调性吗？提示：不具有．预习交流2二次函数的单调区间只取决于－的值吗？提示：不是．还取决于a的正负．预习交流3二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在任何区间上的最大(小)值都是f吗？提示：不是．要针对具体的区间结合单调性求解．一、二次函数的单调性已知二次函数f(x)＝ax2－2x＋3(a≠0，x∈R)．(1)当a＝2时，求f(x)的递增区间和递减区间；(2)若f(x)的递增区间是(－∞，－1]，求实数a的值；(3)是否存在实数a，使f(x)在[－2，＋∞)上单调递增？若存在，

3、求出实数a的范围；若不存在，说明理由．思路分析：二次函数的单调性及单调区间取决于两个量，一是a的正负；二是－的大小，因此可根据题目条件，从以上两个方面分析．解：(1)当a＝2时，f(x)＝2x2－2x＋3.由于2＞0，所以f(x)的递增区间是，递减区间是；(2)由于f(x)的递增区间是(－∞，－1]，所以图象开口向下，故a＜0.因此有解得a＝－1.即实数a的值等于－1.(3)要使f(x)在[－2，＋∞)上单调递增，应使该函数图象开口向上，且－≤－2，因此有显然该不等式组无解，即不存在实数a，使f(x)

4、在[－2，＋∞)上单调递增．已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax－1.(1)当a＝2时，求f(x)的增减区间；(2)若f(x)在[3，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝－x2＋4x－1，图象曲线开口向下．所以f(x)的递增区间是(－∞，2]，递减区间是[2，＋∞)；(2)要使f(x)在[3，＋∞)上单调递减，应满足－≤3，即a≤3.所以实数a的取值范围是(－∞，3]．1．二次函数的单调区间不仅要分析二次项系数a的正负，还要计算－的大小，要将这两个方面结合起来才能确定

5、其单调区间．2．注意区分以下两种不同的说法：f(x)的递增区间是[a，b]与f(x)在[a，b]上递增．f(x)的增区间是[a，b]指的是f(x)在[a，b]上递增，且只在[a，b]上递增；而f(x)在[a，b]上递增，指的是f(x)在[a，b]上递增，但还可能在包含[a，b]的更大的区间上递增．因此两种说法是不同的．二、二次函数的最值已知函数f(x)＝x2＋2ax－3，(1)如果f(a＋1)－f(a)＝9，求a的值；(2)问a为何值时，函数的最小值为－4?思路分析：对于(1)，可由条件建立关于a的方

6、程，求得a的值；对于(2)可由二次函数的最值公式建立关于a的等式求解．解：(1)∵f(x)＝x2＋2ax－3，∴f(a＋1)＝(a＋1)2＋2a(a＋1)－3，f(a)＝a2＋2a2－3，于是(a＋1)2＋2a(a＋1)－3－(a2＋2a2－3)＝9，即4a＋1＝9，解得a＝2.(2)依题意得＝－4，即a2＝1，a＝±1.∴a的值是1或－1.若二次函数f(x)＝ax2＋x－1的单调递增区间是，求该函数的值域．解：依题意可得解得a＝－2，于是f(x)＝－2x2＋x－1.这样f(x)有最大值f＝＝－，因此

7、其值域是.1．对于一个确定的二次函数，它只具有最大值或最小值中的一个，若a＞0，它有最小值；若a＜0，则它有最大值．2．二次函数的值域与其最值有密切关系，对于f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，它的值域是；当a＜0时，值域为.三、二次函数在实际问题中的应用学苑商店每月按出厂价每件3元购进一种文具．根据以前的统计数据，若零售价定为每件4元，每月可销售400件；若每件售价每降低0.05元，则可多销售40件．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价每件定为多少元和从工

8、厂购进多少件时，才可获得最大的利润？思路分析：该商店获得的利润等于每一件文具的利润与销售量的积，每一件文具的利润等于售价减去进价3元的差，而销售量与售价有关，所以关键是求出当月销售完的前提下，每月的进货量与售价，然后建立函数关系求得最值．解：设销售价为x元/件(x＞3)，由题意(销售量等于进货量)，正好当月销售完的进货量为×40＋400，即400(9－2x)件，此时所得的利润为f(x)＝400(9－2x)(x－3)＝400(－2x2＋15x－27)(元)