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时间:2018-12-16
《2018版高考数学 专题1 集合与函数 1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值学案 湘教版必修1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值[学习目标] 1.了解二次函数的定义.2.掌握二次函数的图象及增减性和最值.[知识链接]1.函数y=x2-2x-3的对称轴为x=1,该函数的递增区间为(1,+∞),递减区间为(-∞,1).2.函数y=x2的最小值为0.[预习导引]二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R),当a>0(a<0)时,在区间(-∞,-]上递减(递增),在[-,+∞)上递增(递减),图象曲线开口向上(下),在x=-处取到最小(大)值f(-)=-,这里Δ=b2-4ac.点(-,-)叫作二次函数图象的顶点.要点一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数f(x)满足
2、f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数解析式.解 方法一 利用二次函数一般式.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).则由①②得b=-a,则2a+c=-1,即c=-2a-1.代入③整理得a2=-4a,解得a=-4,或a=0(舍去).∴b=4,c=7.因此所求二次函数解析式为y=-4x2+4x+7.方法二 利用二次函数顶点式.设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).∵f(2)=f(-1),∴抛物线对称轴为x==,即m=.又根据题意函数有最大值为n=8,∴y=f(x)=a(x-)2+8,∵f(2)=-1,∴a(2-)2+8=-1.解之得a=-4.∴f(x)
3、=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.方法三 利用两根式.由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1.故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值8,∴=8.解之得a=-4.∴所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即f(x)=ax2+bx+c(一般式)、f(x)=a(x-x1)·(x-x2)(两根式)、f(x)=a(x-m)2+n(顶点式).跟踪演练1 已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2+4x.求f(x)的解析式.解
4、设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c,f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c,又f(x+1)+f(x-1)=2x2+4x,∴2ax2+2bx+2a+2c=2x2+4x,∴∴∴f(x)=x2+2x-1.要点二 二次函数的增减性例2 f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是递增函数,求m的取值范围.解 函数的顶点横坐标为x=,又函数在区间[-2,+∞)上是递增函数,∴≤-2,即m≤-16,故m的取值范围是{m
5、m≤-16}.规律方法 f(x)=ax2+bx+c(a>0)在(-∞,-]上是递减函数,在[-,+∞)上是递增函数.
6、跟踪演练2 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.解 (1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],1∈[-5,5].∴当x=1时,f(x)min=1;当x=-5时,f(x)max=37.(2)f(x)=(x+a)2+2-a2,其顶点横坐标为x=-a.∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,∴-a≤-5或-a≥5.故a的取值范围是a≤-5或a≥5.要点三 求二次函数的值域或最值例3 求函数y=x2-2ax-1在[0
7、,2]上的值域.解 ①当a<0时,ymin=f(0)=-1,ymax=f(2)=4-4a-1=3-4a,所以函数的值域为[-1,3-4a].②当0≤a≤1时,ymin=f(a)=-(a2+1),ymax=f(2)=3-4a,所以函数的值域为[-(a2+1),3-4a].③当1<a≤2时,ymin=f(a)=-(a2+1),ymax=f(0)=-1,所以函数的值域为[-(a2+1),-1].④当a>2时,ymin=f(2)=3-4a,ymax=f(0)=-1,所以函数的值域为[3-4a,-1].规律方法 在求二次函数的最值时,要注意定义域是R还是区间[m,n],若是区间[m,n],最大(小)
8、值不一定在顶点取得,而应该看顶点横坐标是在区间[m,n]内还是在区间的左边或右边.在区间的某一边时应该利用函数的增减性求解,最值不在顶点上取得,而在区间的端点上取得.跟踪演练3 已知二次函数f(x)=x2-2x+2.(1)当x∈[0,4]时,求f(x)的最值;(2)当x∈[2,3]时,求f(x)的最值;(3)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).解 (1)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,其图象顶
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