2018版高考数学 专题1 集合与函数 1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值学案 湘教版必修1

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1、1.2.7　二次函数的图象和性质——增减性和最值[学习目标]　1.了解二次函数的定义.2.掌握二次函数的图象及增减性和最值．[知识链接]1．函数y＝x2－2x－3的对称轴为x＝1，该函数的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(－∞，1)．2．函数y＝x2的最小值为0.[预习导引]二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，当a＞0(a＜0)时，在区间(－∞，－]上递减(递增)，在[－，＋∞)上递增(递减)，图象曲线开口向上(下)，在x＝－处取到最小(大)值f(－)＝－，这里Δ＝b2－4ac.点(－，－)叫作二次函数图象的顶点.要点一　求二次函数的解析式例1　已知二次函数f(x)满足

2、f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数解析式．解　方法一　利用二次函数一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．则由①②得b＝－a，则2a＋c＝－1，即c＝－2a－1.代入③整理得a2＝－4a，解得a＝－4，或a＝0(舍去)．∴b＝4，c＝7.因此所求二次函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7.方法二　利用二次函数顶点式．设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝，即m＝.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝a(x－)2＋8，∵f(2)＝－1，∴a(2－)2＋8＝－1.解之得a＝－4.∴f(x)

3、＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三　利用两根式．由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1.故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，∴＝8.解之得a＝－4.∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.规律方法　用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f(x)＝ax2＋bx＋c(一般式)、f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)(两根式)、f(x)＝a(x－m)2＋n(顶点式)．跟踪演练1　已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x.求f(x)的解析式．解　

4、设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，f(x－1)＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c，又f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x，∴2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2＋4x，∴∴∴f(x)＝x2＋2x－1.要点二　二次函数的增减性例2　f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求m的取值范围．解　函数的顶点横坐标为x＝，又函数在区间[－2，＋∞)上是递增函数，∴≤－2，即m≤－16，故m的取值范围是{m

5、m≤－16}．规律方法　f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在(－∞，－]上是递减函数，在[－，＋∞)上是递增函数．

6、跟踪演练2　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．解　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，1∈[－5,5]．∴当x＝1时，f(x)min＝1；当x＝－5时，f(x)max＝37.(2)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，其顶点横坐标为x＝－a.∵f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a≤－5或－a≥5.故a的取值范围是a≤－5或a≥5.要点三　求二次函数的值域或最值例3　求函数y＝x2－2ax－1在[0

7、,2]上的值域．解　①当a＜0时，ymin＝f(0)＝－1，ymax＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a，所以函数的值域为[－1,3－4a]．②当0≤a≤1时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，ymax＝f(2)＝3－4a，所以函数的值域为[－(a2＋1)，3－4a]．③当1＜a≤2时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，ymax＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1]．④当a＞2时，ymin＝f(2)＝3－4a，ymax＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[3－4a，－1]．规律方法　在求二次函数的最值时，要注意定义域是R还是区间[m，n]，若是区间[m，n]，最大(小)

8、值不一定在顶点取得，而应该看顶点横坐标是在区间[m，n]内还是在区间的左边或右边．在区间的某一边时应该利用函数的增减性求解，最值不在顶点上取得，而在区间的端点上取得．跟踪演练3　已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值；(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．解　(1)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，其图象顶