高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）3.4.2 函数y＝asin(ωx＋φ)的图象与性质精品导学案 湘教版必修2

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1、3.4.2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质学习目标重点难点1．能分析函数y＝sin(x＋φ)与y＝sinx图象间的关系；2．知道振幅、频率、初相、相位等概念；3．能进行函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sinx之间的图象变换；4．会分析函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质；5．能够根据图象写出函数的解析式.重点：进行函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sinx之间的图象变换，会分析函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质；难点：函数图象的平移变换以及由图象求解析式；疑点：平移变换中平移单位数的确定以及解析式参数φ的确定.1．函数y＝si

2、n(x＋φ)的图象与函数y＝sinx的图象之间的关系一般地，y＝sin(x＋φ)的图象可以由y＝sinx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动

3、φ

4、个单位长度得到．预习交流1由函数y＝sin2x的图象经过怎样的平移可得到y＝sin的图象？一般地，将函数y＝sinωx的图象经怎样的平移可得到y＝sin(ωx＋φ)的图象？提示：由于y＝sin＝sin，所以应将y＝sin2x的图象向左平移个单位，即可得到y＝sin的图象；一般地，应把y＝sinωx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位才能得到y＝sin(ωx＋φ)的图象．2．函数y＝A

5、sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ是常数)的图象与y＝sinx的图象之间的关系一般地，设A＞0，ω＞0，φ是常数，函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的图象可经过以下步骤得到：将正弦曲线y＝sinx向左(当φ＞0)或向右(当φ＜0)平行移动

6、φ

7、个单位长度；再将所得曲线上每一点的横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的倍；进一步将所得曲线上每一点的纵坐标扩大(A＞1)或缩小(0＜A＜1)为原来的A倍．预习交流2若对y＝sinx的图象先进行伸缩变换，再进行平移变换，能否得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象？提示：能得到y＝Asin(ω

8、x＋φ)的图象，但要注意这时平移的单位数不再是

9、φ

10、，而是.3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ是常数)的性质(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A＞0，ω＞0)的值域为[－A，A]，周期为.(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)经常用来表示振动过程中的物理量．此时A表示这个振动量偏离平衡位置的最大距离．称其为振幅．如果x表示时间，则函数的周期就是往复振动一次所需的时间．而f＝＝表示单位时间内往复振动的次数，称为频率，ωx＋φ称为相位，x＝0时的相位φ称为初相．预习交流3在函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞

11、0，ω＞0)中，φ取何值时，函数是奇函数？φ取何值时，函数是偶函数？提示：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数是偶函数．预习交流4怎样确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的对称轴与对称中心？提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋求得，即x＝(k∈Z)；由ωx＋φ＝kπ，即x＝(kπ－φ)(k∈Z)，得对称中心为(k∈Z)．在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、函数y＝Asin(ωx＋φ)

12、的图象与性质作出函数y＝3sin的图象，并求函数的单调递增区间以及对称中心的坐标．思路分析：用“五点作图法”画出函数图象，然后用整体代换的方法求单调增区间以及对称中心坐标．解：按“五点法”，令2x＋分别取0，，π，，2π，x相应取－，，，，.列表：x－2x＋0π2π3sin(2x＋)030－30描点、画图，如图．利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数的单调递增区间是(k∈Z)．令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z，所以函数图象的对

13、称中心的坐标为(k∈Z)．作出函数y＝2cos(2x－)的图象，并根据图象写出函数的单调减区间．解：令X＝2x－，按“五点法”令X＝2x－分别取0，，π，，2π，x相应取，，，，，列出表格如下：x2x－0π2π2cos(2x－)20－202描点、画图，如图所示．利用函数的周期性，可以把图左、右扩展得到y＝2cos(2x－)，x∈R的简图．由图象知，函数的单调减区间为(k∈Z)．1．用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的简图，先作变量代换，令X＝ωx＋φ，再用方程的思想由X取0，，π，，2π来确定对应的x的值，最后根据x，y的值描

14、点，连线画出函数的图象．2．研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性、单调性等性质时，都是采取整体代换的思想，将ωx＋φ作为一个整体，然后根据y＝si