1数形结合解函数综合题

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1、数形结合解函数综合题江苏射阳县阜余中学孙兆明近年各地中考，在函数的综合性试题中增添了对存在性问题的考查，这类试题有较强的综合性，着重考查学生数形结合的能力，本文以中考题为例说明．例1如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交于A(1，m)、B(4，8)两点，与x轴交于原点O及C．(1)求直线和抛物线的解析式；(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点D，能使S△OCD=?如果存在，请求出所有符合条件的点D；如果不存在，请说明理由．(94年南通)分析(1)因为直线y=kx+4经过点A(1，m)、B(4，8)，所

2、以可求得k=1，m=5．y=x+4．又∵抛物线经过A(1，5)、B(4，8)、O(0，0)三点，∴可得a=-1，b=6，c=0，抛物线的解析式为y=-x2+6x．（2）假设存在满足条件的点D，由S△OCD＝S△OCB知：点D的纵坐标是点B的纵坐标的一半，所以4=-x2+6x，解得x=3±，因此满足条件的点D是存在的，坐标为（3-，4）或（3+，4）。例2已知点A(-1，-1)在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)+1上．(1)求抛物线的对称轴；(2)若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的

3、直线？如果存在，求出符合条件的直线；如果不存在，说明理由．(96年南京)分析(1)∵点A(-1，-1)在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上，∴k2-1+2(k-2)+1=-1即k2+2k-3=0得k=1或-3，又∵k2-1≠0，∴k≠±1，只取k=-3，(k=1舍去)，∴y＝8x2+10x+1(2)由于(1)中已求出抛物线的解析式是y=8x2+10x+1，故这里可画出函数图象，借助图形求解．①假设存在直线y=mx+n(m≠0)与抛物线y=8x2+10x+1只交于一点B，则于是消y，得8x2+(10-m)x+

4、1-n=0，应当有△x=(10-m)2-32(1-n)=0，②只有一个交点，例3已知抛物线y=-x2+2(m+1)x+m+3与x轴有两个交点A、B，且A在正x轴，B在负x轴，设OA长为a，OB长为b．(1)求m的取值范围，(2)若a，b满足a∶b=3∶1，求m的值，写出此时抛物线的函数解析式，并在直角坐标系内作出图象；(3)由(2)求得的抛物线与y轴交于C，问在抛物线上是否存在一点P，使△PAC≌△OAC？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，说明理由．(94年扬州)分析(1)因为抛物线与x轴的两支点位于原点两侧，所以方程

5、-x2+2(m+1)x+m+3=0有一个正根和一个负根，从而由韦达定理得：-(m+3)＜0，得m＞-3．(2)∵a∶b=3∶1，∴设a=3k，b=k(k＞0)，得A(3k，0)，B(-k，0)∴m=0，抛物线解析式为y=-x2+2x+3，图象如图3．(3)由(2)可知：A(3，0)、B(-1，0)、C(0，3)，结合图象有：OA=OC，OA⊥OC．∴△OAC为等腰直角三角形．假设存在点P，使△PAC≌△OAC，则△PAC是等腰直角三角形，又因为AC是△PAC和△OAC的公共边，∴四边形OAPC是正方形，∴点P坐标为(3，

6、3)，但把点P坐标(3，3)代入y=-x2+2x+3显然不成立，因此符合条件的点P不存在．例4设抛物线y=ax2+bx+c过点P(-3，4)与P关于坐标原点的对称点是Q．(1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点；(2)设抛物线与x轴的两个交点为A、B，与y轴的交点为C，连结AC、BC，如果假设∠CBA=α，∠CAB=β，求证；∠α，∠β一定均为锐角；(3)问是否有满足tgα=tgβ的抛物线存在？如果有，写出它的解析式；如果没有，请加以证明．(96年淮阴)分析(1)∵点P(-3，4)与点Q关于原点对称∴点Q的坐标为(3，-

7、4)，从而∴抛物线与x轴有两个不同的交点．(2)要证明∠α、∠β均为锐角，只要证明抛物线与x轴的两个交点A、B位于坐标原点的两侧(如图4或如图5)．A、B位于原点两侧，故命题得证．(3)假设满足条件的抛物线存在∵tgα=tgβ(α，β均为锐角)，∴∠α=∠β，AC＝BC，又∵OC⊥AB∴OA=OB，∴这样的抛物线不存在．例5已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2＝，顶点M的坐标为-4，若x1，x2是方程的两个根，且。(1)求A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解

8、析式及点C的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．(97年江西)分析(1)由韦达定理得x1+x2=2(m-1)，x1x2=m2-7∴(x1+x2)2-2x1x2＝10，∴[2(m-1)]2-2(m2-7)=10