数学高考压轴题的特征及应对策略

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1、数学高考压轴题的特征及应对策略江苏省姜堰中学张圣官（225500）以能力为立意，重视知识的发生发展过程，突出理性思维，是高考数学命题的指导思想；而重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计问题，则是高考命题的创新主体。由于高考的选拔功能，近年来的数学高考的压轴题中出现了不少以能力立意为目标、以增大思维容量为特色，具有一定深度和明确导向的创新题型，使数学高考试题充满了活力。本文准备结合近几年高考实例来谈谈数学高考压轴题的特征及应对策略。一．数学高考压轴题的特征1．综合性，突显数学思想方法的运用近几年数学高考压轴题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法、能力综合型尤其是创

2、新能力型试题。压轴题是高考试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点。例1．（06年福建（理）第21题）已知函数f(x)=－x+8x，g(x)=6lnx+m；（Ⅰ）求f(x)在区间[t，t+1]上的最大值h(t)；（Ⅱ）是否存在实数m，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．解：（I）f(x)=－x2+8x=－(x－4)2+16；当t+1<4，即t<3时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t2

3、+6t+7；当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16；当t>4时，f(x)在[t，t+1]上单调递减，h(t)=f(x)=－t2+8t；综上，（II）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数j(x)=g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．从而有：，∵当x∈(0,1)时，，是增函数；当x∈(1,3)时，，是减函数；当x∈(3,+∞)时，，是增函数；当x=1，或x=3时，；∴极大值=极小值==m+6ln3－15；当充分接近0时，当充分大时，∴要使的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，当且仅当即，所以存在实数m，

4、使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为．点评：本小题主要考查函数的基本知识和运用导数研究函数能力；第一小问考查分类与整合等数学思想，第二小问考查函数与方程、数形结合及转化与化归数学思想。2．高观点性，与高等数学知识接轨所谓高观点题，是指与高等数学相联系的数学问题，这样的问题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。由于高考的选择功能，这类题往往倍受命题者青睐。近年来的考题中，出现了不少背景新、设问巧的高观点题，成为高考题中一道亮丽的风景。例2．（06广东（理）22题）A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意，都有；②存在

5、常数，使得对任意的，都有；（Ⅰ）设，证明：；（Ⅱ）设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；（Ⅲ）设，任取,令，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式．解：（Ⅰ）对任意,,,,所以对任意的，有：，，所以：,令，，则；所以；（Ⅱ）反证法：设存在两个使得,；则由，得，所以，矛盾，故结论成立。（Ⅲ），所以；∴点评：本题具有高等数学中的拉格朗日中值定理的背景，一般学生解答是很困难的。在对待高观点题时要注意以下两个方面：一是高观点题的起点高，但落点低，即试题的设计虽来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识，而不是将高等数学引入高考；二是高观点题有利于区分考生能力，在今

6、后高考中还会出现，在复习时要加强“双基”，引导学生构建知识网络，提高学生的应变能力和创新能力，才能更适应新时期的高考要求。3．交汇性，强调各个数学分支的交汇注重在知识网络的交汇点上设计试题，重视对数学思想方法的检测，是近年来高考试题的特色。高考数学压轴题讲究各个数学分支的综合与交汇，以利于加强对考生多层次的能力考查。例3．（08年山东卷（理）第22题）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．（Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列；yxBAOM（Ⅱ）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足

7、（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：由题意设；由得，得，所以，；因此直线的方程为，直线的方程为；所以①；②；由①、②得，因此，即；所以三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得：，，所以是方程的两根，因此，，又，所以；由弦长公式得；又，所以或，因此所求抛物线方程为或．（Ⅲ）解：设，由题意得，则的中点坐标为，设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得；若在抛物线上，则，因此或．即或；（1）当时