采取局部策略,应对高考压轴题

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1、万方数据·44·中学数学研究2014年第2期采取局部策略，应对高考压轴题吉林省永吉县实验职业高中(132200)郭彦武李润超’近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，面盲目求导或求导后处理不当，又常使解题陷入绝境．为此，本文以近几年高考题或改编题为例介绍两种局部策略，便可轻松应对高考压轴题．一、原函数的局部策路1．原函数的局部求导将所要证明的问题直接(或间接)的转化为：证明F(x)>0(或≥0)，而F(鼻)往往比较复杂，直接求导会更复杂，使解题无法进行下去，这时可将函数式m)化成m)“(曲‘小)(或籍)，其中以茗)与

2、g(x)有一个可明显判断出是否大于零，而另一个函数武又远比F(髫)简单，这样就可以做局部处理，对这个函数进行求导，判断其单调性．使问题迎刃而解．例t(2011新课标文)已知函数灭茹)=型等石+1+号，曲线y=“菇)在点(1以1))处的切线方程为省+2y一3=o．(1)求口，6的值；(2)证明：当并>o，且茗≠1时’，(石)>j等．解：(1)略．(2)由(1)知灭第)=x旦+l+÷，所以“并)一鲁=土1-x(21眦+孚)考虑m)=2l眦+半∽蝴Ⅲ@)-了2一学=一掣，所以当龙≠l时，^，(省)

3、)>0，可得南(戈)>I一正0；当菇∈(I，+∞)时，矗(髫)o；从而当茗>o，且茗≠1以茗)一jlax>o，即以菇)lnx>i_．例2(20lO新课标文)设函数火宝)=省(e。一1)一鲋2．1(1)若o=÷，求八髫)的单调区间；。(2)若当童≥0时以茹)≥0，求a的取值范臣解：(1)略．(2ⅪI菇)=石(e。一1一甜)，令g(x)=e‘一1一锨，则g’(戈)=e1一n．若n≤1，则当戈∈(O，+∞)时，g，(茗)>O，g(并)为增函数，面g(o)=0，从而当菇≥0时g(菇)≥0，即以算)≥0．若Ⅱ>1，则当并∈(0

4、，lna)时，g’x)g(x)caf(x)>^(并)(缩小后)>g(石)．例3(2013新课标

5、全国Ⅱ理)已知函数八并)=矿一ln(x+m)．(1)设省=0是八石)的极值点，求m，并讨论以茗)的单调性；(2)当m≤2时，证明，(茗)>0．解：(1)略．(2)因ln(x+t'／／,)为增函数，而m≤2，所以ln(x+m)≤lIl(茗+2)，故只需证明当m=2时以茹)>0．即证八茹)=e。一ln(x+2)>0，由厂(菇)=矿一'■茏在(一2，+∞)单调递增，Ⅳ(一1)0，故厂(茗)=0在(一2，+∞)有唯一实根‰，且髫oE(一1，0)．当菇∈(一2，‰)时，厂(髫)

6、，+∞)时／(戈)>0，从而当茗=茹。时以龙)取得最小值．由厂(‰)=o，得伊=—毛，1n(％+2)‰十Z=‰蜘)≥心=壶+粕=警>0．综上，当m≤2时，，(戈)>0．例4训算)=lnx+石一1，证明：当菇>1时，以髫)<虿3(戈一1)．证明；要证火茹)<÷(茁一1)，等价于l蹦+47—1一车(茗一1)1时，2石<霄+1'．．．石<手+丢，所以l眦+石一l一吾(聋一1)l上是减函数，又g(1)：0，故g(戈)

7、x+√；一1一．妻(菇一1)<1Iu一并+1<0．例5(2012山东理)已知函数，(髫)=也％竽(后为常数，。：2．71828⋯⋯是自然对数的底数)，曲线Y=以石)在点(1以1))处的切线与茗轴平行．(1)求k的值；(2)求以茗)的单调区间；(3)设g(茗)=(戈2+茗)，(茹)，其中y(x)为以茹)的导函数，证明：对任意菇>0，g(菇)<1+e～．解：(1)、(2)略。(3)由(1)知．i}：l，(茗)：L挚，茁E(o，+∞)，所以g(石)=(茗2+石炉(石)=掣(1一石一髫1眦)，即证堑≯(1一石一菇l眦)<1-+e-2易证：不等式矿>

8、l+算(茁>o)成立，即生≠<1．所以—x—+=-一l(1一省一xlnx)<1一戈一茁ln茗，令l

9、l(戈)=l一龙一xlnx(x∈(0，+∞))，^’(石)=一lI珥一2，当筇