高等数学（经管类专业适用）-第章 习题解答

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1、第3章积分及其应用练习3.1.11．求下列函数的一个原函数：（１）；（２）；（３）．【解】（１）；（２）；（３）．2．求下列函数的全体原函数：（１）；（２）２；（３）．【解】（１）；（２）；（３）．3．求下列不定积分：（１）；（２）．【解】（１）；（２）．4．已知曲线在其上任一点处的切线斜率为，试求过点（１，5）的曲线方程．【解】因为，由导数的几何意义知是此曲线族中一条，由点（１，5），确定，所以所求曲线．练习3.1.21．利用直接积分法求下列不定积分：（1）；（2；（3）.【解】（1）；第3章积分及其应用第14页共14页（2）；（3）.2．利用凑微

2、分法求下列不定积分：（1）；　（2）；　　（3）．【解】（1）；（2）；（3）．3．利用分部积分法求下列不定积分：（1）；　　　　　　　　　　（2）．【解】（1）；（2）．4．(略)练习3.1.31．指出下列微分方程的阶数：（1）；（2）；（3）；（4）.【解】（1）一阶；（2）一阶；（3）三阶；（4）二阶．2．验证下列函数是否为所给方程的解：（1）；（2）.第3章积分及其应用第14页共14页【解】（1）左边右边，所以不是方程的解；（2）或，则，则左边右边，所以为方程的解．3．求下列微分方程的通解：（1）；（2）.【解】（1）；（2），，，，即，故．

3、4．求下列微分方程通解及满足初始条件的特解：（1）；（2）.【解】（1），所以，即，因为，则，即特解为：．（2）先求相应的齐次方程通解，令原方程的一个特解为，代入原方程得：第3章积分及其应用第14页共14页，所以原方程的通解为：，将代入，得，故原方程的特解为．5．（略）习题3.11．求下列不定积分：（1）；（2）；（3）．【解】（1）；（2）；（3）．2．求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【解】（1）；（2）；（3）；（4）；第3章积分及其应用第14页共14页（5）．3．求下列不定积分：（1）；（2）；【解】（1）；（2）；（3

4、）．4．求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）．【解】（1）移项分离变量得：，两边积分得，，两边取以e为底指数，得；（2）先求相应的齐次方程的通解，，令原方程的一个特解为，代入原方程得：，故，所以原方程的通解；（3）将方程化成标准式，先求相应的齐次方程的通解，，令原方程的一个特解为并代入原方程得，故，所以原方程的通解．5．求满足初始条件的特解．【解】原方程整理得：，两边求不定积分得:第3章积分及其应用第14页共14页两边同取以e为底的对数得方程通解：，把初始条件代入通解，得，所以方程满足初始条件的特解为．6．求满足初始条件的特解．【解】先求相应

5、的齐次方程的通解，，令原方程的一个特解为，代入原方程得：，即，故原方程的通解，把初始条件代入通解，得，则方程满足初始条件的特解为．练习3.2.11．利用定积分的几何意义,判断下列各式是否成立．(1)；　　　　　　　　　(2)；(3)；　　　　　　　　　(4)．【解】　以上各式均成立．2．用定积分表示由曲线，直线及所围成的平面区域的面积．【解】．3．用定积分表示由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形的面积．【解】．练习3.2.21．计算下列定积分：（1）；　　　　　　　　　　　　（2）；第3章积分及其应用第14页共14页（3）；（4）．【解】（1）；（2）；

6、（3）；　（4）．2．设函数求．【解】3．求下列函数的导数：（1）；　　　　　　　（2）．【解】（1）；(2)．练习3.2.3１．求下列函数的定积分：（1）；　　　　（2）；（3）；　　　　　　　　（4）．【解】（1）；第3章积分及其应用第14页共14页（2）；（3）；（4）．２．求下列函数的定积分：（1）；（2）；（3）．【解】（1）；（2）；；（3）．练习3.2.41．求下列广义积分（1）；（2）；（3）．【解】（1）；第3章积分及其应用第14页共14页（2）；（3）．2．（略）习题3.21．求下列函数的定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（

7、5）；（6）；（7）；（8）；（9）．【解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；第3章积分及其应用第14页共14页（8）；（9）．2．计算下列广义积分：（1）；（2）；（3）．【解】（1）；（2）；（3）不存在．*3．求下列函数的导数：（1）；　　　　（2）．【解】（1）；（2）．练习3.31．用定积分表示下面5个图形阴影部分的面积.【解】图（1）；图（2）；图（3）；图（4）；图（5）.2．求由曲线及直线所围成在第一象限的图形面积．【解】．第3章积分及其应用第14页共14页3．求由曲线所围成的图形面积．.4．已知生产某商品单位时

8、,边际收益函数为(元/单位),求生产单位时总收益以及平均单位收益,并求生产这种产品1000单位变化到2000