赫尔默特方差分量估计

《赫尔默特方差分量估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

8-4-1)8-4-2)8-4-3)8-4-4)8-4-5)1赫尔默特方差分量估计我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。此概念最早由赫尔默特(F.R.Helmert)在1924年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。一、赫尔默特方差分量估计公式为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为~L1B1X1~L2B2X2(函数模型)D(L1)D(1)02P1121D(L2)D(2)02P21D(L1，L2)D(1,2)0(随机模型)其误差方程为V1B1x?l1权阵P1V2B2x?l2权阵P2作整体平差时，法方程为Nx?W0式中TTNN1N2，N1B1P1B1，N2B2P2B2

1P1、P2是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相等的，设为2201和02，则有21D(L1)021P11D(L2)022P212但只有0122020才认为定权合理。方差分量估计的目的就是根据事先初定的权8-4-6)P1、TT22P2进行预平差，然后利用平差后两类观测值的V1PV1、V2P2V2来求估计量？01、？02,22再根据(8-4-6)式求出D?(L1)、D?(L2)，由这个方差估值再重新定权，再平差，直到?01?02TT22为止。为此需要建立V1P1V1、V2P2V2与估计量？01、？02之间的关系式。Y由数理统计知识可知，若有服从任一分布的q维随机变量q1，已知其数学期望为q1，Y方差阵为qq，则q1向量的任一二次型的数学期望可以表达为：8-4-7)E(YTBY)tr(B)TB式中B为任意q阶的对称可逆阵。现用V向量代替上式中的Y向量，则其中的应换为E(V)，应换为D(V)，B阵可以换成权阵P，于是有8-4-8)8-4-9)E(VTPV)tr(PD(V))E(V)TPE(V)E(V)0，于是有：E(V1TPV1)tr(PD(V1))V1B1N1Wl11B1N1(W1W2)l11T1TB1N1B1TP1l1B1N1B2TP2l2l11T1T(B1N1B1TP1I)l1B1N1B2TP2l2对上式应用协因数传播律得

21T1TTD(V1)(B1N1B1TP1I)D(L1)(B1N1B1TP1I)T1T1TB1N1B2TP2D(L2)P2B2N1B1T2121将D(L1)01P1、D(L2)02P2代入上式，整理后得211T1T1211TD(V1)021(B1N1N1N1B12B1N1B1P11)022B1N1N2N1B1将上式代入(8-4-9)式，得TE(V1P1V1)tr(P1D(V1))211T1T1021tr(P1B1N1N1N1B1T2P1B1N1B1TP1P11)211T022tr(P1B1N1N2N1B1T)顾及矩阵迹的性质，上式可写为E(V1TP1V1)021[n12tr(N1N1)tr(N1N1N1N1)]022tr(N1N1N2N1)同理可得E(V2TP2V2)022[n22tr(N2N1)tr(N2N1N2N1)]021tr(N1N1N2N1)2222去掉上面两式的期望符号，相应的单位权方差01、02也改用估值符号?01、?02表示，整理顺序后得112Ttr(N1N1N2N1)?022V1TP1V11112[n12tr(N1N1)tr(N1N1N1N1)]?0218-4-10)112tr(N2N1N2N1)]?022V2TP2V28-4-11)8-4-12)8-4-13)1121tr(N1N1N2N1)?021[n22tr(N2N1)其矩阵形式可写为S?W2221?S1W21式中n11112tr(N1N1)tr(N1N1N1N1)11tr(N1N1N2N1)11tr(N1N1N2N1)111n22tr(N2N1)tr(N2N1N2N1)

3TTTWV1TP1V1V2TP2V2(8-4-12)、(8-4-13)两式即为赫尔默特方差分量估计的严密公式。由此式可以求得两类观测值的单位权方差估值，从而可以根据(8-4-6)式求得观测值方差的估值，以此方差估值再次定权，再次平差，直至满足要求为止。现将以上推导扩展至m组观测值。误差方程为ViBix?li(i1，2m)令D(Li)02iPi1mNBiTPiBi，NNi1mWBiTPili，WWi1则得参数的估值为1x?N1W按照上述类似的推导，则有mT2111211E(ViTPiVi)02i[ni2tr(NiN1)tr(NiN1NiN1)]02jtr(NiN1NjN1)j1,ji2?2去掉期望符号，相应的单位权方差0i也改为用估值符号?0i，则有S?Wmmm1(8-4-14)式中n12tr(N1N1)tr(N1N1N1N1)，tr(N1N1N2N1)tr(N1N1NmN1)1111111tr(N2N1N1N1)，n22tr(N2N1)tr(N2N1N2N1)tr(N2N1N2N1)11111112T0mtr(NmN1N1N1)，tr(NmN1N2N1)nm2tr(NmN1)tr(NmN1NmN1)2?201?02V1TP1V1V2TP2V2VmTPmVm

48-2-1)式中系数阵B为列满秩矩阵，其秩为R（B）t。在最小二乘准则下得到的法方程为Nbbtttx?1Wt18-2-2)R(Nbb)R(BTPB)R（B）t，所以Nbb为满秩矩阵，即为非奇异、计算步骤1.将观测值分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的权的初值122.进行第一次平差，求得ViTPiVi；3.按（8-4-14）式求各类观测值单位权方差估值?02i；4.按（8-4-6）式计算各类观测值方差的估值；5.依据定权公式再次定权，再次平差，如此反复，直到各类单位权方差的估值相等或接近相等为止。2秩亏自由网平差在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为VBx?ln1ntt1n1（8-2-3）u,误差方程为（8-2-4）1阵，具有凯利逆N1bb，因此具有唯一解，即x?N1bbW当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为VBx?ln1nuu1n1

5式中

6utdd为必要的起算数据个数。尽管增加了d个参数，但B的秩仍为必要观测个数，即R(B)tu其中B为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d。组成法方程Nx?W0uuu1u1(8-2-5)NBTPB，WBTPlT式中uuu1，且R(N)R(BPB)R(B)tu，所以N也为秩亏阵，秩亏数为：dut(8-2-6)由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。即有：1,水准网、测站平差d3,测边网、边角网、导线网4,测角网在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得x?的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二乘VTPVmin和最小数x?Tx?min的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算公式。、直接解法Nx?W0根据广义逆理论，相容方程组uuu1u1虽然具有无穷多组解，但它有唯一的最小数解，即：8-2-7)1x?rNm1W式中NmNT(NNT)，称为矩阵N的最小数g逆。(NNT)称为矩阵NNT的g逆。代入(8-2-7)式得8-2-8)x?rNT(NNT)W

7上式就是根据广义逆理论直接求解参数的唯一最小数解的公式。由于广义逆计算较为复杂，下面将公式做进一步改化：令NuuN11ttN21dtN12tdN22ddN1N28-2-9)Wu1W1t1W2d18-2-10)式中N1行满秩，即R(N1)t,于是有NNTN1N1TN2TN212N1N1TN1N2TN2N1TN2N2T8-2-11)而R(N1N1T)R(N1)t，所以(N1N1T)为满秩方阵，按照降阶法求矩阵广义逆的方法，即：如果有矩阵AmnA11rrA21(mr)rA12r(nr)A22(mr)(nr)其中R(A11)r，A11存在凯利逆，则有A111rr08-2-12)根据上式可得(N1N1T)(N1N1T0)1Q1108-2-13)代入(8-2-8)，x?N1TN2TQ110W1W2N1TQ11W18-2-14)或写成8-2-15)x?N1T(N1N1T)1W1未知参数的协因数阵为：

8(8-2-16)QX?N1Q11Qw1w1(N1Q11)N1Q11N11Q11N1二、附加条件法(伪观测值法)前面已提及，秩亏自由网平差就是在满足最小二乘VTPVmin和最小数XT?minW0,口u1的取d个未知参数，因给定的限制条件方程下所求得的解，就是相容方程组N及W0……uuu1u1的取小数解。设等价于约束条件?T)?min的限制条件方程为的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，实际上就是求相容方程组小数解。附加条件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了此在u个参数之间必定满足d个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入d个未知参数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接平差法求解。问题的关键是如何导出等价于?及min的限制条件方程的具体形式。为叙述方便，我们先给出该限制条件方程，然后再推导平差计算公式，最后证明，在(8-2-17)式中R(⑼d，且满足BS0,S称为附加阵。故秩亏自由网平差的函数模型为V1nl1权阵为PSTX0duu1式中uNuBTP'uWBTPl,且R(N)R(BTPB)R(B)tu,唯一不同的是这里STXduu1按照附有条件的间接平差可得法方程NKs(8-2-18)STN为秩亏阵。为解决秩亏问题，将(8-2-18)中的第二式左乘S矩阵后，再加到第一组中得:NSXWT0(8-2-19)ST0Ks0R(N)u根据附有条件的间接平差原理，上式的解为

9Ks(SNST)1SNW-1_(8-2-21)及N(WSKs)由于上述解是通过增加未知参数间满足的d个附加条件，按照附有条件的间接平差法而实现的，因此人们把此法称为附加条件法。但它又不同于经典的附有条件的间接平差法，其主要表现为：当S阵满足BS0时，必定有下式成立（证明从略）Ks0将（8-2-22）式代入（8-2-21）式，可得参数的解为?N1WN1BTP1(8-2-22)(8-2-23)现在只需证明，按（8-2-23）式求得的解？N1WN1BTP1就是法方程uNuUxiW0的最小数解。为此只需证明N1是N的最小数g逆中的一个即可，即只需证1明N满足以下两式：NN1NN和(N1N)TN1NT现证明如下：因为NNSS,所以有N1NN1(NSST)I右乘S阵并展开，则有—111T——NNSNNSNSSSS而NSBTPBS0,所以有N1s(STS)s由于R(STS)d,存在逆阵，则有1T1N1SS(STS)1所以有-1-1-T-1T__T_1_TN1NN1(NSST)(IN1SST)IS(STS)1ST-1T_1_(8-2-24)(8-2-25)(8-2-26)(8-2-27)(8-2-28)N(NN)NNS(SS)SN

10（8-2-28）、（8-2-29）两式说明N1是N的最小数g逆中的一个，因此按（8-2-23）式求得因此（8-2-24）第一式得到验证。由（8-2-27）式得—1TT1TTT1T(NN)(IS(SS)S)IS(SS)S考虑到（8-2-26）式，则上式为-1T1T11(8-2-29)(NN)INSSIN(NN)NN的？-定是相容方程组uNuu?W10的最小数解。三、精度评定单位权中误差估值的计算?VTPV(8-2-30)-0-r式中VTPV可以直接计算，也可以按下式求得(8-2-31)VTPVlTPlWT?未知参数的协因数阵为1T1TTQXXN1BTPQ(N1BTP)TN1BTPQPBN1N1NNN1(NSST)N1N1N1SSTN1N1(ISSTN1)(8-2-32)实际计算时，通常要对S进行标准化，设标准化后的S阵用G表示，即不仅要求满足BG0,还要求满足GTG1——T1―I,此时(8-2-26)式变成NGG(GG)G,转置后T1T有GNG,因此（8-2-32）式将变成如下形式(8-2-33)Q戏N1GGT四、两点说明①若将Ks0代入法方程，则法方程变为

11N及W0或（BTPBSST）及BTPl0上式相当于下列误差方程联合组成的法方程VBXlVgGTW上式的第一式为观测值L的误差方程，第二式可以看作是为求最小数解而人为增设的d个虚拟误差方程，因此附加条件法又叫伪观测值法。②该方法的特点就是用求凯利逆替代了求广义逆，因此便于计算和计算机编程，但首要条件是必须知道附加阵S,关于附加阵的确定问题，本教材不准备作详细讨论，下面直接给出常见控制网的附加阵S及其标准化后的矩阵G的具体形式:水准网（设有u个点）GT1(8-2-34)测边网（设有m个点）ST32m101010010101000000yX1y2X2ymXm(8-2-35)0式中Xi、0yi为第I点的近似坐标GT32m1.m1.m(1(010—R2(y101010)10101)一0-0一0一0-0X1y2X2ymXm(8-2-36)-0式中xi、0yi是以中心坐标为原点的第I点的近似坐标,它们的计算如下:m-00I0XiXiXim1-0yi01yimm0yi1/0202、(XiV\)测角网（设有m个点）

1200y10X20y201_002-X1y1式中增加一行.R-0X2-0y2-0Xm_0ym元素即可得到相应的S阵和G阵。例［8-3］如图8-2水准网,A、B、C点全为待定点，同精度独立高差观测值为h112.345mh23.478mh315.817m，平差时选取A、B、C三个待定点的高程平差值为未知参数父1、*2、3,并取近似值X00102031022,345(m)25.823试分别用直接法和附加条件法求解参数的平差值及其协因数阵。解：1.直接解法误差方程为图8-2法方程为由法方程易知N11所以有Q11未知参数的改正数为X1?2钝X1X2X3N1(N1N1T)27

13TT1T_?N1(N1N1)W1N1Q1汹0(mm)2未知参数的平差值为X10兄10.002X20X222.345(m)X；?325.821未知参数的协因数阵为123QX??2111N1TQ11N11Q11N1-12191122.附加条件法解法一中已求得法方程为NX?W0的具体形式为:211X16121X200112X36该水准网有3个待定点，所以附加阵为GT31则有GGT2111111121-111311211172212723

14522—i1N-2529225所以有20(mm)25226八一i1一一及N1W252092256未知参数的的协因数阵为2111t1QX??N1GGT-1219112结果与直接解法完全相同。