话说二次函数图象与系数abc的关系.doc

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1、话说二次函数图象与系数a、b、c的关系河北刘兴宝二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a、b、c与其图象抛物线的位置及形状有密切联系。因此，在中考试卷中出现的概率比较大，本文就2008年《中学数学教学参考》第1—2期刊登的四川省威远县第一初级中学白飞老师撰写的《函数及其图象：二次函数》一文中的例2为例加以说明。例：（2007年，天津市）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个在贵刊之中刊登的白老师的这篇文章

2、中，给出的答案是：解析：（1）由开口向下可知a＜0,结合由对称轴x=﹣=1，可知，b＞0，再由函数图象与y轴交于正半轴可知c＞0，所以，①是正确的；（2）当x=1时，y＜0，即a－b+c＜0，所以，②是错误的；（3）根据对称性可知当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0,所以③是正确的；（4）又a－b+c＜0和a=﹣，所以﹣－b+c＜0，可得2c＞3b，所以④是错误的；（5）当x=1时，y=a+b+c有最大值，当x=m不等于1时，y=;所以，a+b+c＞,可得⑤也是正确的。因此，选择B。在上述解答

3、给出的答案中，我认为有两处地方有待于磋商：第一：①应该是错误的。因为，由抛物线开口向上知a＜0；由抛物线的对称轴在y轴右侧知：﹣＞0，即＜0，a、b异号，所以，b＞0；由抛物线与y轴交于正半轴可知c＞0，在a、b、c这三个中有两个符号是同号为正，一个为负号，所以①是错误的；第二：④应该是正确的。因为，由b=﹣2a，a－b+c＜0得，（﹣）－b+c＜0，即，，所以，④是正确的；除此以外：②、③、⑤的解答都是正确的。所以错误的有：①和②，因此，正确的有3个，故，应该选择B。例说二次函数图象与系数的关系

4、（图）　　y=ax2+bx+c　　耀华中学高宏柏白丽娜　　在学习二次函数的图象及其性质时，经常会遇到二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系问题，这类问题比较综合、灵活，很多同学考虑不全面，失分率比较高，甚至有的同学无从下手，特别是初学者尤为明显。下面就以3道题为例来说明这类问题的解答对策：　　例1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示。若M=

5、a+b+c

6、-

7、a-b+c

8、+

9、2a+b

10、-

11、2a-b

12、，则下列判断正确的是（）　　（A）M>0（B）M=0　　（C）M<0（D）不能确定

13、　　分析：由图象逐步分析系数a、b、c　　(1)开口方向确定a的符号：开口向上，a>0　　(2)对称轴x=-■的位置确定b的符号：0<-■<1，b<0，且2a+b>0；　　(3)与y轴交点确定c的符号：与y轴交于负半轴，c<0　　(4)与x轴交点个数确定Δ的符号：有两个交点，Δ>0　　(5)特殊点的位置：点（1，a+b+c）在x轴下方，则a+b+c<0；点（-1，a-b+c）在x轴上方，则a-b+c>0　　解：点（1，a+b+c）在x轴下方→a+b+c<0；　　点（-1，a-b+c）在x轴上方→a

14、-b+c>0；　　开口向上→a>0；　　对称轴0<-■<1→b<0，2a+b>0；　　所以，M=-a-b-c-a+b-c+2a+b-2a+b　　=-2a+2b-2c　　=-2(a-b+c)>0　　我们在解决二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系问题时，通常要考虑以上5个方面，在考虑特殊点的位置时，可能还会有其他的情况，如（2，4a+2b+c）等等。请看下面的例题：　　例2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（－1，2）、（1、0），给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③

15、a+c=1；④a>1。其中正确结论的序号是        　　分析：针对①，开口向上，a>0；对称轴在y轴右侧，b<0；与y轴交于负半轴，c<0，所以abc>0，①错误。　　针对②，对称轴x=-■<1，且a>0→2a+b>0，②正确。　　针对③，x=1时，y=a+b+c=0　　x=-1时，y=a-b+c=2　　两式相加，得a+c=1，③正确。　　针对④，由a>0，c<0，a+c=1→a>1，④正确。　　所以，②③④正确。　　可以看出，从上面5个方面入手还是很奏效的。请再看下面一道例题：　　例3．y

16、=ax2+bx与y=ax+b在同一坐标系中的位置大致是（）　　分析：首先y=ax2+bx中无常数项，故图象过原点，所以B错误。　　A中由y=ax2+bx图象得a>0，b=0；与y=ax+b图象中b>0不符；　　D中由y=ax2+bx图象得a>0，b>0；与y=ax+b图象中a<0，b<0不符；　　故选C。　　反思：在解这道题时，主要是由二者的图象分析系数的一致性，我们就顺利得到了答案。但是二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b的图象都过x轴上的同一点，这一点你注意到了吗？它