二次函数的图象与系数的关系

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1、二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系回顾知识点：`1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是.3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是.(0,c)x=-b2aa1.a的符号当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2、a

3、越大，抛物线的开口越窄；

4、a

5、相同，抛物线的开口大小相同探索发现抛物线开口向上抛物线开口向下a>0a<02.b的符号由于对称轴是x=－b/2a;a,b共同决定对称轴的位置.x=－b/2ax=－b/2a左同右异交点在y轴左侧ab＞0a、b同号交点在y轴右侧ab＜0a、b异号3

6、.c的符号决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为（0，c)C＞0交点在y轴正半轴C=0抛物线过原点C＜0交点在y轴负半轴4.b2－4ac的符号抛物线与x轴的交点纵坐标为0，所以由y=ax2+bx+c(a≠0)得0=ax2+bx+c(a≠0),方程解的个数显示抛物线与x轴交点的个数。b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0抛物线与x轴有两个交点抛物线与x轴有一个交点抛物线与x轴无交点5.抛物线与x轴有两个交点，两个交点间的距离为d=∣x1－x2∣(x1,0)(x2,0)(x1,0)(x1,0)(x2,0)(x2,0)由交点横坐标还可以得到抛物线的抛物线的思考：若A，B,

7、在抛物线上，且关于对称轴对称(x1,a)(x2,a)(x1,a)(x2,a)AB则对称轴与A,B两点的横坐标有怎样的关系？二次函数关于轴对称的规律是什么?对于顶点式：2①y=a(x-h)+k与y=a(x+h)+k两图像关于y轴对称,即顶点（h,k）和（－h,k）关于y轴对称,横坐标相反,纵坐标相同.2②y=a(x-h)+k与y=-a(x-h)-k两图像关于x轴对称,即顶点（h,k）和（h,－k）关于y轴对称,横坐标相同,纵坐标相反.22③y=a(x-h)+k与y=-a(x-h)+k关于顶点对称,即顶点（h,k）和（h,k）相同,开口方向相反.22④y=a(x-h)+k与y=-

8、a(x+h)-k关于原点对称,即顶点（h,k）和（－h,－k）关于原点对称,横坐标相反,纵坐标相反.22对于一般式：①y=ax+bx+c与y=ax-bx+c两图像关于y轴对称2222②y=ax+bx+c与y=-ax-bx-c两图像关于x轴对称2③y=ax+bx+c与y=-ax+bx-c关于原点对称.2关于y轴对称。关于x轴对称。关于顶点对称。关于原点对称。关于y轴对称。关于x轴对称。关于原点对称。小结拓展抛物线y=ax2+bx+c的系数的符号由抛物线的位置决定。它们具有等价的关系。（1）a的符号由抛物线的开口确定。开口向上a>0开口向下a<0(2)b的符号由对称轴的位置确定。

9、对称轴在y轴左侧a,b同号对称轴是y轴b=0对称轴在y轴右侧a,b异号(3)c的符号由抛物线与y轴的交点确定。交点在y轴正半轴上c>0交点是原点c=0交点在y轴负半轴上c<0(4)b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定。抛物线与x轴有两个交点b2-4ac>0抛物线与x轴有1个交点b2-4ac=0抛物线与x轴无交点b2-4ac<0(5)a+b+c的符号由x=1时抛物线上的点(1,a+b+c)所在象限位置确定。（6）a-b+c的符号由x=-1时抛物线上的点（1,a+b+c）所在象限位置确定。（7）b2-4ac的符号拓展你会判断4a+2b+c,9a+3b+c的符号吗?已知，

10、y=ax2+bx+c的图象如下，试判断a,b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c的符号。例题学习解：∵开口向上∴a>0抛物线与y轴交于负半轴∴c<0>0,而a>0∴b<0由图象可知抛物线与x轴有两个交点∴b2-4ac>0y．-1x·1当x=1时，y=a+b+c由图象可知，点（1，a+b+c）在第四象限a+b+c<0又x=-1时，y=a-b+c由图象可知，点（1,a-b+c）在第二象限∴a-b+c>0归纳：由x=1时抛物线上的点的位置确定。（2）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定（3）b2-4ac的符号由抛物线与x轴的交点个数确定，也可以由顶点的位置确定

11、。y．-1x·1(1)a+b+c的符号1.根据图象判断a、b、c及b2－4ac的符号a____0b____0c_____0b2－4ac_____0a____0b____0c_____0b2－4ac_____0a____0b____0c_____0b2－4ac_____0a____0b____0c_____0b2－4ac_____0＞＜＞＜＜＝＝＝＞＞＝＞＜＞＜＜牛刀小试2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么a,b,c,b2－4ac,a+b+c,a－b+c中值小于零的有（）A5个；B4个；