二次函数图象与abc的关系专项训练

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1、1、如图所示，二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中-2＜x1＜-1、0＜x2＜1．下列结论：①4a-2b+c＜0，②2a-b＜0，③a＜-1，④b+8a＞4ac中，正确的结论是①②③④考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．分析：首先根据抛物线的开口方向可得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点中，-2＜x1＜-1、0＜x2＜1说明抛物线的对称轴在-1～0之间，即x=-＞-1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断．解答：解：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线

2、的对称轴x=-＞-1，且c＞0；①由图可得：当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0，故①正确；②已知x=-＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正确；③已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），由①知：4a-2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a-c＜-4；故3a＜-3，即a＜-1；所以③正确；④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确；因此正确的结论是①②③④．点评：此题主要考

3、查的是二次函数系数与图象的关系，难度适中．补充对结论③的解答：a关系的是开口，那就取不可能取到的值。令x1=-2；x2=1，列出两点式y=a（x-x1）（x-x2），代入点（-1，2），求得a=-1.因-1开口最大而取不到，绝对值越大开口越小，所以取小于-1.2、如图，抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=1，下列结论：①b＜0；②（a+c）＞b；③2a+b-c＞0；④3b＜2c．其中正确的结论有①②③④（填上正确结论的序号）．考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向向上得到a＞0，由对称轴为x=$-frac{b}{2a}$=1，得2a+b=0，从而确定b＜0，由

4、此确定①正确；由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴得到c＜0，进一步得到2a+b-c=-c＞0，由此判定③正确；由于当x=1时，y=a+b+c＜0，当x=-1时，y=a-b+c＞0，∴2a-2b+2c＞0，∴-b-2b+2c＞0，由此即可推出3b＜2c，由此判定④正确；根据题意得到a+b+c＜0，a-b+c＞＞0，即（a+b+c）（a-b+c）＜0，可推出②错误．解答：解：∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴为x=$-frac{b}{2a}$=1，得2a+b=0，2a=-b，∴a、b异号，即b＜0，∴①正确； ∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴2a+b-c=-c＞0

5、，∴③正确；∵当x=1时，y=a+b+c＜0，∵当x=-1时，y=a-b+c＞0，∴2a-2b+2c＞0，∴-b-2b+2c＞0，∴3b＜2c，∴④正确；∵a+b+c＜0，a-b+c＞＞0，∴（a+b+c）（a-b+c）＜0，即（a+c）2-b2＜0，②错误．正确答案：①③④．故填答案：①③④．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=$-frac{b}{2a}$判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）b2-4

6、ac由抛物线与x轴交点的个数确定：①2个交点，b2-4ac＞0；②1个交点，b2-4ac=0；③没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号；（6）由对称轴公式x=$-frac{b}{2a}$，可确定2a+b的符号．1、（2011•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（　　）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞02、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+

7、b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（　　）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤3、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（　　）A、1B、2C、3D、44、（2011•山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（　　）A、ac＞0B