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时间:2020-09-25
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1、高等数学AII期末考试题(2012级)一、填空题(每小题3分,共12分)1.,则= 。解:2.设是以为周期的函数,其傅里叶级数在点处收敛于 。解:易见,是函数的间断点,则在该点处傅里叶级数收敛于3.= 。解:4.设且,则 。解:二、选择题(每小题3分,共12分)1.幂级数的收敛域是( )(A) (B) (C) (D)解:则收敛半径为1当时,级数成为,由莱布尼兹审敛法知其收敛当时,级数成为,发散故收敛域为选D2.函数在点(1,1)处的梯度为( )(A) (B) (C) (D)解:选A3.以下命题不正确的是( )(A)若,则发散(B)若收敛,则收敛(C)若级数收
2、敛,且,则级数也收敛 (D)若收敛,则不一定都收敛注意到C是正项级数的审敛法。选C4.若在点可微,则下列结论不一定成立的是( )(A)在该点处偏导数存在(B)在该点处偏导数连续(C)在该点处连续 (D)在该点处切平面存在选B三、解下列各题(每小题6分,共18分)1.设L为椭圆,其周长为,计算曲线积分的值。解:由椭圆方程,代入曲线积分的表达式2.计算曲线积分的值,其中L为抛物线上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧。解:L:,从0到13.求函数在点处沿方向的方向导数。解:四、解下列各题(每小题7分,共35分)1.讨论二元函数在点(0,0)处的连续性.解:则函数在点(0,0)处连续2.计算曲
3、面积分其中为的外侧在的部分。解:记,向下,则与形成封闭曲面,由高斯公式利用球面坐标)若利用柱面坐标:3.将展成的幂级数,并指出其收敛区间。解:4.求平行于轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程。解:设平面方程为,代入两点(4,0,-2)和(5,1,7)解得D=2C,B=-9C,代入直线方程则直线方程为:5.求级数的收敛域及和函数。解:则收敛半径为当时,级数成为收敛,当时,级数成为发散则收敛域为设,逐项求导,得故五、解答题(每题9分,共18分)1.计算积分,其中D是由所围成。解:2.计算,其中为三个坐标面和平面所围成的区域。解:六、(本题5分)设有连续导数,证明曲面上任一点的
4、切平面平行于某一定直线。证明:取直线的方向向量,则,任取曲面外的一点(a,b,c),则直线平行于曲面上任一点的切平面.
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