高数II期中试题答案

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1、一、填空题1.lim也型(工，刃T((),())Xlim二(x』)t(0,1)兀-+yL解：gy)T(O,O)时，小TO,limlim•尸1・O=O；O』)t(O.O)x(儿y)T(O.O)xy2—xv2—0•1(x,.y)T((),l)兀2+丿2。2+]2利用函数的连续性，lim一^=—^=2ttjr2.函数z=xsin(x+y)+ex+y在点7J(—,—)处的全微分dz=ex+ydx+[xcos(x+y)+ev+v]dy解：dz=导心+牛cfy=[sin(兀+y)+xcos(x+y)+jrjr在点AG'才)处的全微分二(1+严)dx+e^dy、.dz3.:&z=2y-

2、x,x=cost,y=sint,贝I」一dt=sin0+2cos0=2r=0解:全导数生二学.竺+半型“nr+2c°sr,故竺dtdxdtdydtdt4.交换积分次序£禺j；/(x,y)dx=解：£dy^2/(x,y)dx=fxyy^lxdy,将D看成X型区域，可把二重积分写成二次积分J；dx^'/(x,y)dy,所以J；y)dx=［创:'/(x,y)dy5.曲线x=t,y=2tz=户在点(-1,2,-1)处的切线方程为解：曲线上任意一点的切向量为亍=(1,4/,3八)，点(一1,2,-1)对应的参数为r=—l,所以曲线在点(-1,2,-1)处的切向量为f=(1,-4

3、,3),可写出所求切线方程(点切式直线方程形式)为£±1二上二£±11-436.设平面曲线厶为左半圆周x=_Jl_y2,则曲线积分£(x2+y2)^=X=cos&Iy=sin&解：这是求对弧长的曲线积分(方法？)，画出整个圆周，那么左半圆周的方程为所以£(x2+y2)ds=21-4dO=---=22'龙/2227.设o■是任意简单闭曲线厶所围区域D的而积，且为常数，则^Ladx+bxdy=解：利用格林公式(记得吗？),令p(x,j)=6Z,2(x,y)=bx，则擎”，辈=0,所以oxdy^adx+bxdy=JJ?一^-)dxdy=J]bdxdy=bJ]dxdy=be&

4、如)=解：画出积分区域，利用极坐标求二重积分(公式？)(怎么确定&和p的范围？)l旳丹坤=f城莎p忙r城p^p=乎9.设简单正向闭曲线厶所围区域的面积为S,则S的计算公式为解：S=+血池10.设z=/(x,y)在Oo，%)収得极大值，则函数F(x)=/(x,y0)在观収得极值解：根据条件，在兀的去心邻域内有/(七％)

5、c/x+y工01.证明函数/(x,y)=p%2+/在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微o,x2+/=0lim(兀,刃一＞(0・0)=0=/(0,0),所以/(兀刃在点(0,0)处连续(2)因为lim/(0+心0)一/(0,0)=[jm上2“,所以/；(0,0)存在,心T()AX山T0心因此f(x.y)在点因为]im/(O,O+A}0-/(O,O)=Hm0-0=Q,所以九(o,0)存在,口a)・t()2y(0,0)处的偏导数都存在,且/；(0,0)=0,/v(0,0)=0可以证明当(心,△『)—((),0)时,(3)因为也_fx©0)心-扎(0,0)0_AxAy、J

6、(3+(3(心)'+(Av)?其极限不等于零(实际上是不存在，选择两条不同路径可判断)，所以/(x,y)在点(0,0)处不可微分dzc)2z2.求由方程z2-3xy^z=4所确定隐函数z=z(x,y)的亍,oxdxdy解：这是求隐函数的偏导数(方法？)令F(x,y,z)=z2-3xyz-4=0,则申=一坨，=所以申=—込—,oxFzdyFzdx2z-3xy9(3z+•f^)(2z-3xy)-3yz(2-3x)oz_3xzd~z_d(dz)_dydydy2z-3xydxdydydx(2z-3xy)2将dz_3血代入,整理得BL_(6z?+9小z)(2z-3小)一1张站dy2

7、z-3xydxdy(2z-3xy)33.求三重积分I=^xy^zdV，其中Q：x2+y2+z2<1位于第一卦限的部分Q解：利用球坐标计算三重积分(公式？)(怎样确定0,0厂的収值范围？)I=jJjxyzdV=rsin^cos^-rsin^sin&•rcos(p・『sin(pdrQ*5/2I07T/2f应2=£cossinOdOC/r/2fz=£sin0d(sin&)J()sin3(pcos(pd(p^r^drsin30d(sin&)[r5dr—sin2&眉2■丄sin4。龙/2■L2.0_4J0L6J£2148-1-61-44