高数下册测试题答案

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1、院系班级姓名作业编号《高等数学》（下册）测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1．设有直线及平面，则直线（A）A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交.2．二元函数在点处（C）A．连续、偏导数存在；B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在.3．设为连续函数，，则＝（B）A．；B．；C．D．.4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝（D）A．7；B．；C．；D．.5．微分方程的一个特解应具有形式（B）A．；B．；C．；D

2、．.二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为17院系班级姓名作业编号，则正数；5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有1.三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与.解：方程两边取全微分，则解出从而四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数.解：，从而五、（本题8分）计算累次积分）.解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该

3、区域也可以表示为17院系班级姓名作业编号从而六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域.解：先二后一比较方便，七．（本题8分）计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分.解：由对称性从而八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线.解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取17院系班级姓名作业编号九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧.解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、（本题4分）求方程的通解.解：解：对应

4、齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为17院系班级姓名作业编号代入方程得十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。令，则由推出，的坐标为附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数.解：从而收敛区

5、间为，17院系班级姓名作业编号3．将展成以为周期的傅立叶级数.解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。17院系班级姓名作业编号《高等数学》（下册）测试题二一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1．设，且可导，则为（D）A．；；B．；C．；D．．2．从点到一个平面引垂线，垂足为点，则这个平面的方程是（B）A．；B．；C．；D．．3．微分方程的通解是（D）A．；B．；C．；D．．4．设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于（A）A．；B．；C．；D．．5．累次积分＝（A）A．；B．；

6、C．；D．．二．填空题（每小题5分，本大题共15分）1．曲面在点处的切平面方程是；.2．微分方程的待定特解形式是；3．设是球面的外测，则曲面积分＝．17院系班级姓名作业编号三、一条直线在平面：上，且与另两条直线L1：及L2：（即L2：）都相交，求该直线方程．（本题7分）解：先求两已知直线与平面的交点，由由由两点式方程得该直线：四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．（本题7分）解：沿梯度方向上函数的方向导数五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题8分）解：设底圆半径

7、为，高为，则由题意，要求的是在条件下的最小值。由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省六、设积分域D为所围成，试计算二重积分．（本题8分）解：观察得知该用极坐标，17院系班级姓名作业编号七、计算三重积分，式中为由所确定的固定的圆台体．（本题8分）解：解：观察得知该用先二后一的方法八、设在上有连续的一阶导数，求曲线积分，其中曲线L是从点到点的直线段．（本题8分）解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取折线17院系班级姓名作业编号九、计算曲面积分，其中，为上半球面：．（本题8分）解：由于

8、，故为上半球面，则原式十、求微分方程的解．（本题8分）解：由，得十一、试证在点处不连续，但存在有一阶偏导数．（本题4分）解：沿着直线，依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。而十二、设二阶常系数线性微分方程的一个特解为17院系班级姓名作业编号，试确定常数，并求该方程的通解．（本题4分）解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，否则不能有这样的特