高数下册期中考答案

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1、clx+[xcos(x+y)+ex+y]dynldZ则——clt解:全导数—=—+

2、i.^-=sinr+2cosr,dtoxdtdydt故竺dt=sin0+2cos0=2/=0《高等数学》下册期中考试试卷专业：学号：姓名：分数一、填空题（每小题4分，共44分）1.lim曲)(x,y)T(0・0)X=:lim2一厂二（xj）t（o・i）xz+解：(x,y)T(O,O)吋，a^tO,lim血(小二]jm"□(")歹=]°二°；(x,y)T(O,O)X(xy)T(O,O)xy*2-xv2-01利用函数的连续性，li

3、mA莓==2UJ)T(OJ)无2+y2Q-+]■ttrr2.函数z=xsin(x+y)+ex+y在点7J(—,—)处的全微分dz=解：dz=导心+牛cfy=[sin(兀+y)+xcos(x+y)+ex+yjrjr在点AG'才）处的全微分二（1+严）dx+e^dy3.-&：z=2y-x,x=cost.y=sint4.交换积分次序£dy^2f（x,y）dx=解:j（'dy^2f（x,y）dx=f（x,y^lxdy,将D看成X型区域，可把二重积分写成二次积J；创「/（兀,y）dy‘所以［dyJ；/（兀,y）dx=［

4、叫''/（x,y）dy5.曲线x=t,y=2tz=t3在点（一1,2,-1）处的切线方程为解：曲线上任意一点的切向量为亍=（1,4人3尸），点（一1,2,-1）对应的参数为r=-l,所以曲线在点（-1,2,-1）处的切向量为f=（1,-4,3）,可写出所求切线方程（点切式直线方程形式）为£±1二□二£±11-436.设平面曲线厶为左半圆周兀二-Ji』，则曲线积分J（F+y2）ds=Jx=cos&厶[y=sin0解：这是求对弧长的曲线积分（方法？）,画出整个圆周，那么左半圆周的方程为彳W&

5、y2)ds二I：1•賦de=¥一彳7.设o■是任意简单闭曲线厶所围区域D的而积，且为常数，则^Ladx+bxdy=解：利用格林公式（记得吗？）,令p（x,j）=6Z,2（x,y）=bx，则擎”，辈=0,所以oxdy^adx+bxdy=JJ?一^-)dxdy=J]bdxdy=bJ]dxdy=be+)广dxdy=解：画出积分区域，利用极坐标求二重积分（公式？）（怎么确定&和P的范围？）LW疟孑轴=f城莎Pdp=f城p^dp=y9.设简单正向闭曲线厶所围区域的面积为S,则S的计算公式为解：S9.设Z=f(x.y)

6、在(心小)取得极大值，则函数F(x)=/Uy0)在兀。取得极—值解：根据条件，在X。的去心邻域内有/(兀,北)

7、%m沪lim(3)—>(0・0)=0=/(0,0),所以f(x9y)在点(0,0)处连续(2)因为lim+心-'(0,0)二恤上£二。,所以^(()())存在,山t°Ar心t°Ay因为lim△vtO9r/(0,0+3-/(0,0)△y=0,所以/v(0,0)存在,因此/(x,y)在点(0,0)处的偏导数都存在,且£(0,0)二0,/v(0,0)=0，可以证明当(山,Ay)T(0,0)时,(3)因为心—厶(0,0心=心'{(3+(3(3+(3其极限不等于零(实际上是不存在，选择两条不同路径可判断)，所以/(x,

8、y)在点(0,0)处不可微分c)2z2.求由方程z2-3xyz=4所确定隐函数z=z(x,y)的丁，占oxdxdy解：这是求隐函数的偏导数(方法？)F(%,y,z)=z2-3xyz-4=0,则羊=一九，尖=一厶，所以冬=―—oxF二dyFzdx2z-3xydz3xzdy2z-3xyd2zdRz、=—(—)dxdydydx(3z+3嗨)(2z—3幼-3曲

9、

10、_3劝(2z—3小)2将斜占代入整理得吕孑二dxdy(6z2+9xyz)(2z-3xy)-1Sxyz2(2z-3xy)33.求三重积分I=\xy^dV，

11、其中Q：x2+^2+z2<1位于第一卦限的部分解：利用投影法或柱而坐标计算三重积分(公式？)(怎样确定°&,Z的取值范围？)胡Jwd—广％加dp广Q!2pcos&・psind・zdz=J：cos0sin0d&[p'dpJ(zdz=J：cos&sindP1•仏—S1IT0龙/2■L2J0L812Jo1484.II*W£(2xy+)dx+(x2+2)dy,其中L:x2+y2=2or,(y>0),逆时针