高数i期中试题答案

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1、试题及其详细解答一、填空题（每小题2分，共20分）1、函数的定义域为__________________.解：，应填写2、__________________.解：3、当时，与相比较是_______________无穷小解：等价4、则__________________.解：5、在点的微分是__________________.解：，，应填写或6、曲线在处的切线方程为______________.解：，时，，，切线方程为7、设满足条件，且存在，，则=_______.解：8、函数的极大值为_________.5解：，驻点0不是极值点，2是极大点，极大值为9、函数的单调增加区间为__

2、___________.解：，令，得，应填写10、=____________，.解：，二、单项选择题（每小题2分，共10分）1、若函数在点处连续，则=________(A)1(B)0(C)(D)不存在解：由，得，选(C)2、曲线在区间（2，4）上______(A)单调增加(B)单调减少(C)有最小值(D)没有最小值解：，驻点，应选(C)3、函数的凹区间为_______(A)(B)(C)(D)解：，令，得，5应选(B)4、当时，是比_______(A)高阶的无穷小(B)低阶的无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但不等价无穷小解：，应选(D)5、设为的极大值点，则___(B)______

3、(A)必有=0(B)=0或不存在(C)为在定义域内的最大值(D)必有三、计算题（每小题8分，共40分）1、，解：1、设，求的值.解：因，故，即，由，得，3、，求解：用对数求导法求导数：两边取对数，，两边取导数，，，54、设函数由方程确定，求解：先求：方程两边求导得，得，5、已知点（0，1）是曲线的拐点，求的值解：，，因点（0，1）是拐点，所以，即，且。四、证明题（每小题10分，共20分）1、设，证明（）证明：令，则，因，，故，故，故在上单调减少，故时，，故（）2、设在[1，2]上有二阶导数，且，又，证明在（1，2）内至少有一点使证明：因且在[1，2]上满足罗尔定理条件，故（1，2

4、）内至少有一点，使，又显然，且在上满足罗尔定理条件，故内至少有一点使.五、应用题（10分）5将边长为的一块正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒，截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大？解：设截去的小正方形边长为，容积为，则，（）。因，有唯一驻点，（舍去），则它是最大值点，故截去的小正方形边长为时，所得方盒的容积最大.5