高数I(二)期中期末试卷(往年)

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1、高等数学I（二）期中期末试卷选下册期中考试（一）一、试解下列各题：1．[6分]函数由方程所确定，求。2．[6分]求椭球面上平行于直线的法线方程。3．[6分]计算，其中积分区域是由所确定。4．[6分]设是连接点、及的折线，计算曲线积分。二、[8分]求。三、[9分]求柱面被二平面所截的在那部分面积。四、[8分]试用曲线积分求平面曲线绕直线旋转所成旋转曲面的面积。五、[8分]计算，式中是球面上满足的部分。六、[8分]计算，式中是曲面由所限定的部分的下侧。七、[12分]证明：若在点的某一邻域内的偏导数存在且有界，则在该点连续。八、

2、[14分]在椭圆的第一象限部分上求一点，使得该点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积最小，并求面积的最小值。九、[9分]设连续，证明，其中为正常数，。参考答案：一、1．2．3．4．二、0三、四、五、六、八、  下册期中考试（二）一、试解下列各题：1．[8分]讨论函数的连续性。2．[8分]在曲线求点，使该点处曲线的切线平行于平面。3．[8分]计算，其中是由所围成的在与之间的闭区域。4．[8分]计算曲线积分，式中是从点沿到点的一段弧。5．[8分]计算，是球面在第一卦限部分的上侧。二、[11分]设，求函数对于变量的全微分。三、[1

3、3分]计算，其中是由所围成的闭区域。四、[13分]求均匀的圆锥面（设面密度为1）对于轴的转动惯量。五、[12分]设是正方形域的正向边界，为正值连续函数，试证。六、[11分]在周长为的三角形中，求这样的三角形，使它绕自己的一边旋转所得旋转体的体积最大。参考答案：一、1．除在直线上不连续外，处处连续。2．3．4．5．二、三、四、六、三角形的三边之长依次为，则当。且绕长为的边旋转时所得旋转体的体积最大。     下册期中考试（三）一、试解下列各题：1．[6分]求曲面上点处的切平面和法线方程。2．[6分]设是连结点及的直线段，计算

4、曲线积分。3．[6分]设为正向一周，求。4．[6分]设有一圆锥面，其法向量与轴的夹角为锐角，向量场向指定一侧穿过的通量为：。二、试解下列各题1．[7分]求。2．[7分]求函数的极大值或极小值。3．[7分]计算曲线积分，其中为椭圆从点经第二象限至的弧段。三、[12分]函数由方程组所确定，求。四、[12分]设是连续函数，改变二次积分的积分次序。五、[12分]在面上以为顶点的三角形薄片，其上任一点的面密度与该点到原点距离平方成正比，且已知在点的面密度为2，求此薄片的质量。六、[11分]求，其中为圆锥面的下侧。七、[8分]设在极坐

5、标系下的方程为，其中为上有连续导数的正值函数，且对应点对应点，试证明。参考答案：一、1．切平面方程为：，法线方程为2．3．44．0二、1．02．极小值为，无极大值。3．三、四、五、六、0下册期末考试（一）一、试解下列各题：1．[5分]判别级数的敛散性。2．[5分]验证：的解，但不是通解，其中与是任意常数。3．[5分]计算，其中积分区域是由所确定。二、试解下列各题：1．[6分]设，求和。2．[6分]计算二重积分，为。3．[6分]求函数的驻点。三、试解下列各题：1．[6分]计算。2．[6分]算曲线积分，式中是以为顶点的三角形域

6、的正向周界。四、[9分]设，写出以为周期的傅立叶级数的和函数在上的表达式。五、[5分]设，求函数对变量的全微分。六、[7分]求曲面上点处的切平面和法线方程。七、[10分]已知曲线的切线上自切点至与轴的交点的一段距离为常数，且曲线过点（0，a），求此曲线方程。八、[9分]计算，其中为平面在第一卦限的部分。九、[7分]求幂级数的收敛区间及和函数。十、[8分]验证：当时，是某二元函数的全微分，并求出。参考答案：一、1．此级数收敛3．二、1．2．3．均为此函数的驻点。三、1．2．四、五、六、切平面方程：，法线方程：七、八、九、收敛

7、区间。十、 下册期末考试（二）一、试解下列各题：1．[6分]求函数在点（1，1）沿与轴正向成角方向的方向导数。2．[6分]计算，其中是圆周。3．[6分]将函数展开成的幂级数并指出收敛域。4．[6分]求微分方程的通解。5．[6分]求微分方程的一个特解。二、[12分]求椭球面被平面截得的椭圆的长半轴与短半轴之长。三、[10分]函数由方程所确定，具有连续的一阶偏导数，求。四、[10分]由曲面与所围成立体为，其密度为1，求关于轴的转动惯量。五、[10分]计算是由锥面，平面和所围成的圆台的侧面的下侧。六、[12分]计算曲线积分，式中

8、是由点沿曲线至点的一段。七、[8分]设，是正项单调递增数列，问级数何时收敛，何时发散？证明你的结论。八、[8分]设平面在平面和平面之间，它把平面与之间的距离分为，求平面的方程。参考答案：一、1．2．3．4．5．二、长半轴：，短半轴三、四、五、六、七、当时原级数发散，否则原级数收敛。八、   下册期末考试