线性代数 矩阵第二章课件.ppt

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1、第二章矩阵1．矩阵的概念；2．矩阵的代数运算；3．矩阵的初等变换；4．矩阵的求逆运算；5．分块矩阵。一.矩阵的概念1.矩阵的定义方程组系数排成一个矩形数表这就是矩阵由mn个数按一定的次序排成的m行n列的矩形数表称为mn矩阵,简称矩阵.横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列称为矩阵的第i行j列的元素.元素为实数的称为实矩阵,我们只讨论实矩阵.矩阵通常用大写字母A、B、C等表示，例如简记为行矩阵列矩阵脚标当m=n时，即矩阵的行数与列数相同时,称矩阵为方阵。称为对角线元素几种特殊形式的矩阵二.矩阵的代数运算一、线性运算1.相等

2、:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同的行数与列数,且对应元素相等.即=同型型号相同对应元素相等2.加、减法设同型矩阵为与定义显然A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)A+O=O+A=AA-A=O负矩阵的负矩阵为记作-A,即3.数乘称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作：kA二、矩阵的乘法与一般地，有=与则A与B满足什么条件时能够相乘？你记住了吗？=O显然这正是矩阵与数的不同但是这又是矩阵与数的不同请记住：1.矩阵乘法不满足交换律；2.不满足消去律；3.有非零的零因子。请特别注意性质5,如果不是同阶方阵结果不成立.???不成立!

3、课本P39:例2.3三、方阵的正整数幂k个定义n阶方阵的k次幂为：显然规定注意成立的充要条件是什么?例：AB=BA四、矩阵的转置请记牢!方阵A的多项式例课本P40:例2.4也就是=???对称阵与反对称阵对任一方阵A，我们有证明:所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.例：P42:例2.5证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵的转置小结2.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律、消去律.1.只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行

4、加法运算.3.矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.注意:课后作业P58:2-1;2-2.1)2)3)7);2-4;2-6;2-7;2-8;P64:2-51.1)倍乘变换三.矩阵的初等变换以下三种变换分别称为矩阵的初等行（列）变换：对调变换倍加变换矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。行阶梯形：每行首个非零元素的下方全是零化简矩阵而保持其等价性。主要作用：矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具.???0主要过程：利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形。利用初等行变换将矩阵A化为行阶梯形矩阵。例1：利用初等行变换将矩阵化为行最简

5、形。???行最简形：每行首个非零元素为1，且这些1所在列的其他元素都是零0000000利用初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵。例2：矩阵的等价定义:对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作AB.性质:等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。A的等价标准形定理：任何一个矩阵都有等价标准形。矩阵A的秩如例1中：推论:矩阵A与B等价的充要条件是A与B有相同的标准形。矩阵的秩一般地：2.秩的定义:矩阵A的所有不等于零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩.记作r(A).显然r(O)=0;只要A不是零阵,就有r(A)>0.并且:例

6、3解例4解计算A的3阶子式，例5求矩阵A的秩利用初等变换可以求矩阵的秩.秩的求法定理:矩阵经初等变换后其秩不变.证:只证行变换的情形.例6求矩阵的秩例7解：P59:2-17.1)2)3);P88：3-15.3）4）;小结(2)初等变换法1.矩阵的初等变换2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);作业：行阶梯形行最简形等价标准形初等矩阵定义：对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等行变换得到的初等矩阵分别为

7、：对单位阵作一次列变换得到的矩阵也包括在上面的三类矩阵之中。初等矩阵的性质1.初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵.2.初等矩阵都是非奇异的.初等矩阵与初等变换的关系先看一个例子行变换相当于左乘初等矩阵;列变换相当于右乘初等矩阵.例1求矩阵的标准形并用初等矩阵表示初等变换。可以验证例2选择题=？例3显然，若两个同型矩阵有相同的秩，则这两个矩阵有相同的标准形，从而等价；反之，若两个矩阵等价，则它们的秩相同。即有：定理：矩阵A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).!!!请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。满秩矩阵定义：若方阵

8、A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵。(满秩非奇异降秩奇异）E----满秩阵O----降秩阵定理：设A为满秩阵，则A的标准形为同阶单位阵E.即矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。推论1：以下命题等价：证推论2：矩阵A与B等价的充要条件为存在