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时间:2019-05-09
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1、《2.1.2椭圆的简单几何性质》同步练习 1.椭圆+=1的离心率为( ).A.B.C.D.解析 a2=16,b2=8,c2=a2-b2=8,e===.答案 D2.若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则m等于( ).A.B.C.D.解析 ∵椭圆焦点在x轴上,∴02、长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为________.解析 由题意,得2a=12,=,所以a=6,c=3,b=3,故椭圆G的方程为+=1.答案 +=15.椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2两段,则椭圆的离心率是________.解析 由题意知,=,整理得,=.答案 6.如图,已知F1为椭圆的左焦点,A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.解 法一 由已知可设椭圆的方程+=1(a>b>0),c2=a2-b2,F1(-3、c,0),因为PF1⊥F1A,所以P,即P,∵AB∥PO,∴kAB=kOP,即-=-,∴b=c,∴a2=2c2,∴e==.法二 由法一知P,又△PF1O∽△BOA,∴=,∴=,即b=c,∴a2=2c2,∴e==.7.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值是( ).A.B.C.2D.4解析 由题意可得2=2×2,解得m=.答案 A8.一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3,则该椭圆的标准方程是( ).A.+=1或+=1B.+=1或+=1C.+=1或+=1D.椭圆的方程无4、法确定解析 a=5且c=3,∴b=4,∴椭圆方程为+=1或+=1.答案 C9.与椭圆+=1具有相同的离心率且过点(2,-)的椭圆的标准方程是________________.解析 所求椭圆的离心率为,又e2=1-=,分情况设标准方程+=1(a>b>0),+=1(a>b>0),然后把点代入,解方程组得+=1或+=1.答案 +=1或y2+x2=110.已知椭圆+=1的离心率为,则m=________.解析 若m>4,则=,即4m-16=m,m=;若m<4,则=,即16-4m=4,m=3.答案 3或11.求椭圆9x2+16y2=1445、的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.解 把已知方程化成标准方程为+=1,于是a=4,b=3,c==,∴椭圆的长轴和短轴长分别是2a=8和2b=6,离心率e==,两个焦点坐标分别是F1(-,0)和F2(,0),四个顶点坐标分别是A1(-4,0),A2(4,0),B1(0,-3)和B2(0,3).12.(创新拓展)已知F1、F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,若·=0,椭圆的离心率等于,△AOF2的面积为2,求椭圆的方程.解 如图所示,连接AF2.∵·=0,∴AF2⊥F1F2,因为椭6、圆的离心率e==,则b2=a2,设A(x,y)(x>0,y>0),由AF2⊥F1F2知x=c,∴A(c,y),代入椭圆方程得+=1,∴y=,∵△AOF2的面积为2,∴S△AOF2=x×y=2,即c·=2,∵=,∴b2=8,∴a2=2b2=16,故椭圆的方程为+=1.
2、长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为________.解析 由题意,得2a=12,=,所以a=6,c=3,b=3,故椭圆G的方程为+=1.答案 +=15.椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2两段,则椭圆的离心率是________.解析 由题意知,=,整理得,=.答案 6.如图,已知F1为椭圆的左焦点,A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.解 法一 由已知可设椭圆的方程+=1(a>b>0),c2=a2-b2,F1(-
3、c,0),因为PF1⊥F1A,所以P,即P,∵AB∥PO,∴kAB=kOP,即-=-,∴b=c,∴a2=2c2,∴e==.法二 由法一知P,又△PF1O∽△BOA,∴=,∴=,即b=c,∴a2=2c2,∴e==.7.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值是( ).A.B.C.2D.4解析 由题意可得2=2×2,解得m=.答案 A8.一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3,则该椭圆的标准方程是( ).A.+=1或+=1B.+=1或+=1C.+=1或+=1D.椭圆的方程无
4、法确定解析 a=5且c=3,∴b=4,∴椭圆方程为+=1或+=1.答案 C9.与椭圆+=1具有相同的离心率且过点(2,-)的椭圆的标准方程是________________.解析 所求椭圆的离心率为,又e2=1-=,分情况设标准方程+=1(a>b>0),+=1(a>b>0),然后把点代入,解方程组得+=1或+=1.答案 +=1或y2+x2=110.已知椭圆+=1的离心率为,则m=________.解析 若m>4,则=,即4m-16=m,m=;若m<4,则=,即16-4m=4,m=3.答案 3或11.求椭圆9x2+16y2=144
5、的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.解 把已知方程化成标准方程为+=1,于是a=4,b=3,c==,∴椭圆的长轴和短轴长分别是2a=8和2b=6,离心率e==,两个焦点坐标分别是F1(-,0)和F2(,0),四个顶点坐标分别是A1(-4,0),A2(4,0),B1(0,-3)和B2(0,3).12.(创新拓展)已知F1、F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,若·=0,椭圆的离心率等于,△AOF2的面积为2,求椭圆的方程.解 如图所示,连接AF2.∵·=0,∴AF2⊥F1F2,因为椭
6、圆的离心率e==,则b2=a2,设A(x,y)(x>0,y>0),由AF2⊥F1F2知x=c,∴A(c,y),代入椭圆方程得+=1,∴y=,∵△AOF2的面积为2,∴S△AOF2=x×y=2,即c·=2,∵=,∴b2=8,∴a2=2b2=16,故椭圆的方程为+=1.
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