2019_2020学年高中数学课时分层作业21数量积的定义（含解析）苏教版必修4

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1、课时分层作业(二十一)　数量积的定义(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．－1　　　　D．±1D　[∵e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°，∴e1·e2＝

2、e1

3、

4、e2

5、cosθ＝±1.]2．已知

6、a

7、＝8，

8、b

9、＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影为(　　)A．2B．－2C．4D．－4B　[∵

10、a

11、＝8，

12、b

13、＝4，b在a方向上的投影为

14、b

15、cos120°＝4×cos1

16、20°＝4×＝－2.]3．若向量a，b满足

17、a

18、＝

19、b

20、＝1，a与b的夹角θ为120°，则a·a＋a·b＝(　　)A．－B．0C.D．1C　[∵

21、a

22、＝

23、b

24、＝1，a与b的夹角为120°，∴a·b＝

25、a

26、

27、b

28、cos120°＝－.又a·a＝

29、a

30、2＝1，∴a·a＋a·b＝1－＝.]4．在△ABC中，

31、

32、＝13，

33、

34、＝5，

35、

36、＝12，则·的值是(　　)A．－25B．25C．－60D．60A　[∵

37、

38、＝13，

39、

40、＝5，

41、

42、＝12，∴

43、

44、2＝

45、

46、2＋

47、

48、2，∴△ABC为直角三角形．又cos∠ABC＝，

49、∴·＝

50、

51、

52、

53、cos(π－∠ABC)＝13×5×＝－25.]5．若向量

54、a

55、＝1，

56、b

57、＝2，

58、a－b

59、＝2，则

60、a＋b

61、＝(　　)A．2B.C.D.C　[∵

62、a

63、＝1，

64、b

65、＝2，

66、a－b

67、＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4，即

68、a

69、2－2a·b＋

70、b

71、2＝4，得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.于是

72、a＋b

73、＝＝＝＝.]二、填空题6．已知向量a，b的夹角为45°，且

74、a

75、＝4，·(2a－3b)＝12，则

76、b

77、＝________；b在a方向上的投影等于________．　1　[·(2a－3b

78、)＝a2＋a·b－3b2＝12，即3

79、b

80、2－

81、b

82、－4＝0，解得

83、b

84、＝(舍负)，b在a方向上的投影是

85、b

86、cos45°＝×＝1.]7．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若

87、a

88、＝1，则

89、a

90、2＋

91、b

92、2＋

93、c

94、2的值是________．4　[法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，∴

95、a

96、2＋

97、b

98、2＋

99、c

100、2＝4.法二：如图，作＝＝a，＝b

101、，则＝c.∵a⊥b，∴AB⊥BC.又∵a－b＝－＝，(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，所以△ABC是等腰直角三角形，∵

102、a

103、＝1，∴

104、b

105、＝1，

106、c

107、＝，∴

108、a

109、2＋

110、b

111、2＋

112、c

113、2＝4.]8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.－8或5　[由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解

114、得λ＝－8或λ＝5.]三、解答题9．已知

115、a

116、＝4，

117、b

118、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求

119、a＋b

120、；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．[解]　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4

121、a

122、2－4a·b－3

123、b

124、2＝61.∵

125、a

126、＝4，

127、b

128、＝3，∴a·b＝－6，∴

129、a＋b

130、＝＝＝.(2)∵a·(a＋b)＝

131、a

132、2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e

133、2的夹角为锐角？[解]　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为{k

134、k＞0且k≠1}．[等级过关练]1．定义：

135、a×b

136、＝

137、a

138、·

139、b

140、·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若

141、a

142、＝2，

143、b

144、＝5，a·b＝－6，则

145、a×b

146、等于(　　)A．－8　　　　B．8　　　　C．－6　　　　D．6B　[由

147、a

148、＝

149、2，

150、b

151、＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴

152、a×b

153、＝

154、a

155、·

156、b

157、·sinθ＝2×5×＝8.]2．设

158、a

159、＝3，

160、b

161、＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝(　　)A.B.C．－D．±D　[(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±.]3．非零向量a，b满足

162、a

163、＝

164、b

165、＝

166、a＋b

167、，则a，b的夹角为________．　[由

168、a

169、＝

170、b

171、＝

172、a＋b

173、，所以

174、a

175、2＝

176、a＋b

177、2，所以

178、a

179、2＝

180、a

181、2＋2a·b＋

182、b

183、2，得a·b＝－

184、b

185、2，所以