2019_2020学年高中数学课时分层作业4（含解析）苏教版

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1、课时分层作业(四)　(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　)A．y＝un，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－1[答案]　A2．若f(x)＝，则f(x)的导数是(　　)A.B.C.D.A　[f′(x)＝＝.]3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)A．ln(2x＋5)－B．ln(2x＋5)＋C．2xln(2x＋5)D．B　[∵y＝xln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋.]4．函数y＝(ex

2、＋e－x)的导数是(　　)A．(ex－e－x)B．(ex＋e－x)C．ex－e－xD．ex＋e－xA　[y′＝(ex＋e－x)′＝(ex－e－x)．]5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)A．1B．2C．－1D．－2B　[设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.]二、填空题6．函数f(x)＝cos，则f′(3π)＝________.　[因为f′(x)＝－sin·′＝－sin，所以f′(3π)＝－sin＝－sin＝.]7．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(

3、x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．y＝2x　[∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝.当x＝0时，y′＝2，∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.]8．若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________.2sin2x　[∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos2x，∴y′＝(－cos2x)′＝－(－sin2x)·(2x)′＝2sin2x.]三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝esinx

4、；(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．[解]　(1)设y＝，u＝1－2x2，则y′＝()′(1－2x2)′＝·(－4x)＝(1－2x2)(－4x)＝.(2)设y＝eu，u＝sinx，则yx′＝yu′·ux′＝eu·cosx＝esinxcosx.(3)设y＝sinu，u＝2x＋，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos.(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′x＝yu′·ux′＝＝.10．求曲线y＝2sin2x在点P处的切线方程．[解]　因为y′＝(2sin2x)′＝2×2sinx×(sinx)′＝2

5、×2sinx×cosx＝2sin2x，所以y′

6、x＝＝2sin＝.所以过点P的切线方程为y－＝，即x－y＋－＝0.[能力提升练]1．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)A.　　　　　　　B.C.D.1A　[依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′

7、x＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝

8、－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝.]2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)A.B.C.D.D　[因为y＝，所以y′＝＝＝.因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tanα∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈.]3．点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________．　[与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，

9、y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝＝.]4．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．y＝－2x－1　[设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝lnx－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝lnx－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.]5．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求

10、a的值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．[解]　(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(