2019_2020学年高中数学课时分层作业3（含解析）苏教版

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1、课时分层作业(三)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列结论正确的是(　　)A．若y＝cosx，则y′＝sinxB．若y＝sinx，则y′＝－cosxC．若y＝，则y′＝－D．若y＝，则y′＝C　[∵(cosx)′＝－sinx，∴A不正确；∵(sinx)′＝cosx，∴B不正确；∵()′＝，∴D不正确．]2．若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足f′(1)＝ln27，则f′(－1)＝(　　)A．2　　　　　B．ln3C．D．－ln3C　[f′(x)＝axlna，由f′(1)＝alna＝ln27，解得a＝3，则f′(x)＝3x

2、ln3，故f′(－1)＝.]3．已知f(x)＝x2·，则f′(2)＝(　　)A．4B．0C．D．5D　[原函数化简得f(x)＝x，所以f′(x)＝x，所以f′(2)＝×2＝5.]4．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为(　　)A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2C　[因为y＝lnx的导数y′＝，所以令＝，得x＝2，所以切点为(2，ln2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.]5．若f(x)＝sinx，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是(　　)A.B.C.πD.πA　[∵f(x)＝sinx，∴f′(x)

3、＝cosx.又∵f′(α)＝cosα＝，∴α＝2kπ±(k∈Z)．当k＝0时，α＝.]二、填空题6．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________.－4　[∵f′(x)＝－，∴f′(2)＝－，又g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，由g′(2)＝，得m＝－4.]7．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.3　[依题意知，f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.]8．已知函数f(x)＝f′sinx＋cosx，则f′＝_____

4、___.－　[∵f′(x)＝f′cosx－sinx，∴f′＝f′cos－sin＝－1，∴f′(x)＝－cosx－sinx，∴f′＝－cos－sin＝－.]三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝sin；[解]　(1)(2)∵y＝sin＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.(3)∵y＝2sincos＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.10．求证：双曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．[证明]　由xy＝1，得y＝，从而y′＝－.在双曲线xy＝1上任取一点P，则在点P处的切线斜率k＝－.切线方程

5、为y－＝－(x－x0)，即y＝－x＋.设该切线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，则A(2x0,0)，B，故S△OAB＝

6、OA

7、·

8、OB

9、＝

10、2x0

11、·＝2.所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．[能力提升练]1．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2019(x)＝(　　)A．sinx　　B．－sinxC．cosxD．－cosxD　[f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)

12、′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4为最小正周期，故f2019(x)＝f3(x)＝－cosx．]2．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)A．B．3e2C．6e2D．9e2A　[因为y′＝ex，所以切线的斜率为k＝e2，切线方程为y－e2＝e2(x－2)，令x＝0得y＝－e2；令y＝0得x＝1，故围成的三角形的面积为S＝×1×

13、－e2

14、＝.]3．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝

15、________.1　[f′(x)＝2x，g′(x)＝，由f′(x)－g′(x)＝1，得2x－＝1，解之得x1＝－，x2＝1.∵x>0，∴x＝1.]4．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．－2　[∵y′＝(n＋1)xn，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，则xn＝.故an＝lg＝lgn－lg(n＋1)．所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg98－lg99)＋(lg

16、99－lg100)＝lg1－lg100＝－2.]5．已知曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为1