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《中考数学复习指导：一道几何题的多种思维切入点》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、道几何题的多种思维切入点数学离不开解题，然而，题海浩瀚，变化万千，唯有总结解题方法，发现解题规律才能事半功倍，对于儿何问题必须选择一个恰当的思维起点，才能使逻辑推理顺利通畅地由题设过渡到结论，本文以一道经典几何题为例，分析其多种思维切入点，供同学们参考.题目如图1,在厶ABC屮，AB>AC,AD是角平分线，点E在BD上，且DE=CD,EF〃AB,交AD于点F,求证：EF=AC.本题文字简明扼要，图形简洁明快，证法多样，是一道不可多得的好题.一、证相等，思全等简析1因为结论是证两条线段相等，故首先想到证明三角形全等，但需要构造一个三角形与图中的某个三角形全等.由
2、条件EF〃AB,可得ZBAD=ZEFD,又条件AD是角平分线，即ZBAD=ZCAD.所以ZEFD=ZCAD；①结合结论EF=AC,可发现需要构造一个与AACD全等的三角形，即图2中的AEFG,方法是在AD的延长线上取一点G,使EG=ED.于是EG=CD；②ZG=ZEDG=ZADC.③由①、②、③可得△FEG^AACD,故结论可以得证.二、有中线，加一倍简析2由DE=CD,可把AD看作AAEC的屮线，所以考虑采用屮线加倍法.如图3,延长AD到点使AD=AD,连结A'E,易得△DEA纟ADCA.所以AE=AC,ZA^ZCAD；由条件EF〃AB,可得ZBAD=ZEF
3、D,进而ZA^ZEFD,所以A'E=EF,故EF=AC,结论得证.AA1图3图4简析3如图4,延长FD到点F,使FD=FD,连结FC,以下与简析2类似.这种中线加倍法，就是屮心对称法，其实质是以中点为对称中心构造中心对称的图形（全等的三角形）.三、有中点，想中位线简析4点D是EC的中点，但图中并不存在以EC为一边的三角形，所以想到构造以EC为一边的三角形，显然，连结CF是最佳方案.如图5.因为CF是EF和AC所在三角形即AEFC和AAFC的公共边，取CF的屮点,连结DM.则DM〃EF,DM=-EF.2取AF的屮点，连结MN,因此，必然需要构造等于丄AC的中位线
4、,2则MN〃AC,MN=^AC.2欲证EF=AC,需证MD=MN,因而只需ZMDN=ZMND,至此结论易证.简析5“角平分线+平行线=＞等腰三角形”是一个常用的几何模型，本题具备角平分线和平行线的条件，因此想到图中是否隐含了等腰三角形的条件？如图6,延长EF交AC于点G.因为EF〃AB,ZBAD=ZAFG,又因为ZBAD=ZCAD,所以ZAFG=ZCAD,于是AG=FG；取EG的中点H,连结DH,贝l]DH〃AC,DH=-GC,2且HD=HF・设HD=HF=a,AG=FG=b,则EH=HG=a+b,所以EF=2a+b,AC=AG+GC=b+2a,所以EF=AC
5、.结论得证.简析6如图7,类似简析5的思考过程.以上两种方法，不仅巧妙地运用了儿何模型“角平分线+平行线=>等腰三角形”，更巧妙地是运用了代数计算的方法来进行证明.图6图7四、有角平分线，思轴对称简析7因为AD是角平分线，AB>AC,如图8,可在AB边上取一点C,使AC*=AC.连结CD,则厶ACD^AACD,所以可得CD=CD=ED.连结CC、EC,则CC1EC,CC丄AD,所以ECZ/AD.因为EF〃AB,所以四边形ACEF是平行四边形，所以EF=AC,故EF=AC.简析8如图9,把AFED以直线AD为对称轴翻折，点E落在点E处，连结EE,CE,可证ACE
6、'F是平行四边形，使结论获证.五、有角平分线、平行线，想比例线段简析9如图10,因为AD是角平分线，rris.ACCD所以，一=—，ABBD因为EF〃AB,所以竺=竺；ABBDacEF又因为CD=ED,所以—,ABAB故EF=AC・六、有等角或补角，思正眩定理、想面积公式简析10如图10,在ZFED和ZACD中，ZEFD=ZCAD,ZEDF+ZADC=180°.所以sinZEFD=sinZCAD,sinZEDF=sinZADC.根据正弦定理，EF_EDsinZEDF_sinZEFD，ACCDsinZADC~~sinACAD；又因为CD=ED,故EF=AC.
7、简析11如图11,因为ZEFD=ZCAF,所以可得ZAFE+ZCAF=180°,所以sinZAFE=sinZCAF.连结AE、CF,因为CD=ED,所以AAED和AACD等积，AFED和ZFCD等积，因此AAEF和ZiACF等积，即-AF.EF.sinZAFE2=」AF.AC.sinZCAF,2故EF=AC・波利亚说：“解题的成功要靠正确的思路选择，要靠从可以接近它的方向攻击堡垒・”以上从6个方面分析了解决该题的思维切入点，共得到11种解法，其中9种方法作了辅助线，作辅助线的切入点是靠变换思想.如，全等变换：根据题设或图形特点相应的进行平移（如构造平行四边形
8、）、旋转（如以中点为中心构造中心对称的
