一道几何题的多种证明.doc

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1、一道几何题的多种证明贵州盘县平关镇中学：张大选，电话:13984645212在数学教学中要培养学生多角度思考问题，特别是对几何证明的教学，若能从不同的角度引导学生分析证明，将会对提高学生分析问题、解决问题的能有很大的帮助。本文对下面这道几何题的证明进行分析，仅供参考。EFABCD题目呈现：已知，如图，△ABC是正三角形，D是BC上一点，F是BC延长线上任意一点，E是∠ACF的角平分线上一点，且∠ADE=60°，求证：AD=DE.通过分析，多角度思考，发现本题可从构造全等三角形、等腰三角形、相似三角形、平行四边形等多种方法证明结论，一方面建构了知识之

2、间的联系，揭示了数学本质问题，另一方面拓宽了解题思路，下面给出不同的证明：一、构造全等三角形CFDBGEA图1证法1：如图1，过D作DG∥AC交AB于G点，△ABC是正三角形，∴∠BGD=∠BAC=60。,∠BDG=∠ACB=60。,∴△BDG是正三角形，∴BD=BG，∵BA=BC，∴AG=CD，∵∠BDG=60。,∠ADE=60。,∴∠ADG+∠CDE=60。,∵CE平分∠ACF,∴∠CDE+∠CED=60。∴∠ADG=∠CED，∵∠AGD=∠DCE=120。,∴△ADG≌△DECF图2ECGABD∴AD=DE.证法2：如图2，过D作DG∥AB,

3、交AC于G点，△ABC是正三角形∴∠DGC=∠BAC=60。,∠ACB=60°∴△CDG是正三角形，∴CD=CG∵CE平分∠ACF，∴∠ACE=∠ADE=60°∴∠DAG=∠DEC，∵∠DGC=∠ECF=60°，∴∠AGD=∠DCE=120°∴△ADG≌△EDC，∴AD=DE.DF图3GCBEAH证法3：如图3，过D作DG⊥AC,垂足为G，过D作DH⊥EC，与EC的延长线交于H，∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=60°∴∠ACE=120°，∵CE平分∠ACF∴∠ECF=∠ACE=∠DCH=60°∴∠ACB=∠DCH=60°即CD平分∠GCH,∵DG

4、⊥AC，DH⊥HE，∴DG=DH，∵∠∠ADE=∠ACE=60°∴∠DAC=∠DEC，∵∠AGD=∠DHE=90°∴△ADG≌△EDH∴AD=DE.二、构造相似三角形证法4：如图4，过E作EGFCDBA图4EG∥AC，交BF于G点，∵CE平分∠ACF，△ABC是等边三角形，易知∠ECF=60°，∵EG∥AC，∴∠CGE=∠ACB=60°，∵∠ADE=∠ACE=60°，∴∠DAC=∠DEC，∵∠BAD+∠DAC=∠CDE+∠DEC=60°，∴∠BAD=∠CDE，∵∠B=∠CGE=60°,∴△ABD∽△DGE，∴=，=，∴，∵AB=BC，GE=CG，∴

5、，∴即BD=CG=GE，∴，即AD=DE.图5ADBCFEG三、构造等腰三角形证法5：如图5，延长AC至G点，使CG=CE，连接DG，由△ABC是等边三角形，CE平分∠ACF，易得∠DCE=∠DCG=120°,∵CE=CG，CG=CG，∴△CDE≌△CDG∴∠DEC=∠DGC，DE=DG，∵∠ADE=∠ACE=60°，AC与DE相交,∴∠DAC=∠DEC，∴∠DAC=∠DGC，∴AD=DG，∴AD=DE.证法6：如图6，延长EC至G点，使CG=AC，∵△ABC是等边三角形，DFBG图6CEA∴∠ACF=120°，∵CE平分∠ACF∴∠ECF=∠AC

6、E=60°∴∠DCG=∠ECF=60°，∴∠DCG=∠ACB=60°∵AC=CG，CD=CD∴△ACD≌△GCD，∴∠DGE=∠DAC∵∠ADE=∠ACE=60，AC与DE相交，∴∠DAC=∠DEG，∴∠DGE=∠DEG，∴DG=DE，∴AD=DE.ABCDEFG图7四、构造平行四边形证法7：如图7，过D作DG∥CE，过B作BG∥AC，∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°∴∠ACF=120°∵CE平分∠ACF，∴∠ACE=60°∴∠DCE=120°∵DG∥CE，BG∥AC，∴∠GDC=∠DCE=120°，∠GBC=∠ACB=60°，∵∠GDB

7、=180°-∠GDC=60°，∴△GDB是等边三角形,即BG=BD，∵AB=BC，∠ABC=∠GBC=60°，∴△ABD≌△CBG，∴∠BAD=∠BCG，AD=GC,∵∠ADE=∠ACE=60°，由三角形内角和定理可知∠DAC=∠DEC，∵∠BAD+∠DAC=∠DEC+∠CDE=60°∴∠BAD=∠CDE,∵∠BAD=∠BCG∴∠CDE=∠BCG,∴DE∥GC，∵DG∥CE，∴四边形DGCE是平行四边形，∴DE=GC，∴AD=DE.