一道平面几何竞赛题的证明-论文.pdf

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1、2014年第5期数学敦学5一7一道平面几何竞赛题的证明200081上海市虹口区教师进修学院杨岚清AC．BD=—PA．PB．AE．BF2013年全国高中数学联赛加试fA卷)的⋯⋯⋯．(半)平面几何题，以简洁优美的图形、多维的思维易知△P△B，故视角，激发着考生的求解欲望．从不同的角度PABC、=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯··运用几何图形特征，建立相关量之间的联系，PEBE．一可以得到不同的几何证法：从不同的视角观察同理，由APBFAADF得图形，利用正弦定理及三角形的面积关系，又PBD一=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯可得到不同的三角方法．本文提供

2、的7种证明PFAF．方法，以不同的方式展现出了不一样的精彩；将⑧×④代入(术)，并注意到=EF=有的方法仅用到中学课本的知识，甚至只用到FB、褥初中课本的知识，下面请大家欣赏．AC．D：4D．B．⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(、木冰)试题如图1，B是圆的一条弦，P为在圆内接四边形ABDC中，由PtolemyB上一点，E、F为线段B上两点，满足E定理，有=EF=FB．连结PE、PF并延长，与圆分AD·BC=AC·BD+AB·CD．·(木木水)别相交于点、D．由(半木)、(术木水)得F·CD=AC·BD．求证：EF．CD：AC．BD．PP图2图1思路2：由已知

3、条件可得PDA=思路1：从所要证明的结论出发，结合2SAPDB及SAPCB：2PCA，再结合图形，已知条件及图形，由两组相似三角形可得出AC．BD的表达式；再由相关三角形的相得出结论中相关线段之间的关系式：最后利似，对AC．BD的表达式进行化简；最后利用Ptolemy定理，便可证得结论．用Ptolemy定理，便可证得结论．证法2f几何法2)：连结D、AP、B、证法1f几何法11：连结AD、AP、B、BP，如图2．由AE=EF=FB知F=2FB，BP，如图2．易知△△PBE，故故PDA=2SAPDB．又XPAD+ZPBD=ACAE．PB180。，

4、故AD．P=2BD·JE}P．⋯⋯⋯⋯⋯⋯①⋯⋯两====而==：=百百．。⋯⋯①同样，由BE=2EA，得SAPCB=同理，由△BDF。々△PAF得2SAPCA．又／PBC+PC=180。．故=日D=．⋯⋯②BC．BP=2AC．AP．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．②由①×②得由①×②得AD．B=4AC．D．⋯．．③’DA=FDN+NDA=／ADC+NDA图4=ⅣD，而AEAM=ⅣCD，故AAEM~思路5：延长A日到点G，使BG=FJE}，可△CND．利用相交弦定理先证明P、E、D、G四点共·：一．．一腮AD’uD：一A儿M．‘uⅣ，’圆，容易得到AGBDc

5、．oAACD，进而证得结即4EF．CD=AD．BC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①论．证法5(几何法5)：延长B到点G，使BG在圆内接四边形ABDC中，由Ptolemy定理，有：FB，连结D、DG，如图5．由相交弦定理，并注意到=F：FAD．B=A．BD+AB．D．⋯⋯．(=BG，得PF．FD=AF．FB=EF．FG．又由①、②得4EF．D=AC．BD+AB．PFE=DFG，．‘．P、、D、G四点共圆．D=．BD+3EF·D，故EF．D=于是J[)GB=ADPE=DC，而DBG．D．=／DCA，故△BGD△D．·．：．··⋯D———_，⋯JIEJ}GtT⋯．

6、‘I／DI：一门⋯／．’J1～E-J}D1-／，．’即EF．D=AC．BD．说明：这个证明与证法4有许多相似之处，也仅用到初中数学课本上的知识与方法．G图3思路4：延长到点G，使G=，由已知条件及图形特征，先证明、G、D、F四点共圆，容易得到△GD~ABFD，进而证得图5结论．思路6：由已知条件及同弧所对的圆周角证法4f几何法4)：延长到点G，使G相等，利用正弦定理，并进行等式的变形，可得=C，连结D、DG、FG，如图4．结论．由E=EF，得CE／／GF．故GF=证法6(三角法1)：连结P、DA，并将相CE=DF，．‘．、G、D、F四点共圆．关

7、角记为1至A8，如图6．