一道高等数学竞赛题证明方法的研究

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1、一道高等数学竞赛题证明方法的研究　　摘要：本文给出了一道高等数学竞赛题的多种证明方法，并对其做了进一步推广.　　关键词：罗尔定理根的存在性定理费尔马引理导函数介值定理　　一、预备知识　　2016年江苏省普通高等学校第十三届高等数学竞赛专科组试题中有一道证明题，题目如下：　　命题1设函数f（x）在区间[0，1]上二阶可导，f（0）=0，f（1）=0，且f（x）>0，f（x）<0，求证：存在ξ∈（0，1），使得f′′（ξ）=0.　　我们将给出命题1的三种证明方法.在这些证明方法中，除了罗尔定理和根的存在性定理之外，还用到了下列定理：　　引理1（Fermat）设f（x）在[a，b]上有定义，并且在点

2、c∈（a，b）取得最值，f（x）在点c可导，则f′（c）=0.　　引理2（导函数介质定理）若f（x）在区间[a，b]上可导，则对于f′（a）与f′（b）之间的任一数值μ，必有一点c∈（a，b），使得f′（c）=μ.　　二、不同证明方法及分析3　　在这一部分我们给出了命题1的三种不同证明方法.第一种证明方法运用了最值定理、根的存在性定理和罗尔定理，证明方法清晰，思路比较自然.　　证法一：因为f（x）在区间[0，1]上可导，所以f（x）在区间[0，1]上连续，由最值定理，设f（a）=f（x）>0，f（b）=f（x）<0，不妨设0　　因为f（x）在区间[0，1]上可导，在区间[0.c]与[c，1]上

3、应用罗尔定理可得，存在ξ∈（0，c），ξ∈（c，1），使得f′（ξ）=0，f′（ξ）=0.　　因为f′（x）在区间[ξ，ξ]上可导，在区间[ξ，ξ]上应用罗尔定理可得，存在ξ∈（ξ，ξ）？奂（0，1），使得f″（ξ）=0.　　证法二运用了Fermat引理，证明方法简洁.　　证法二：设f（a）=f（x）>0，f（b）=f（x）<0，不妨设0　　因为f（x）在区间[0，1]上可导，Fermat引理，可知f′（a）=f′（b）=0.因为f′（x）在区间[a，b]上可导，在区间[a，b]上应用罗尔定理可得，存在ξ∈（a，b）？奂（0，1），使得f″（ξ）=0.　　方法一与方法二运用的知识都是高职高专高

4、等数学知识体系范围内的.证法三需要用到导函数介质定理.此定理不在高职高专高等数学知识范围内，证明如下：　　证法三：由最值定理，设f（a）=f（x）>0，f（b）=f（x）0.同理，存在一点ξ∈（a，c）使得f′（ξ）0.　　再次利用拉格朗日中值定理可知，存在一点ξ∈（ξ，ξ）使得f″（ξ）0；最后，由导函数介质定理可知，存在ξ∈（ξ，ξ）？奂（0，1），使得f″（ξ）=0.　　三、一些推广3　　在这一部分，我们对命题1做了一些简单的推广.　　命题2：设函数f（x）在区间（a，b）上二阶可导，f（x）=f（x）=C，且f（x）>0，f（x）<0求证：存在ξ∈（0，1），使得f″（ξ）=0.　　证

5、明：令f（a）=f（b）=C，令g（x）=f（x）-C，则g（x）满足命题1中的条件，且gs″（x）=f″（x）.　　命题3：设函数f（x）在区间（a，b）上二阶可导，f（x）=A，f（x）=B，且f（x）>A，f（x）