不等式证明的高等数学方法研究_范慧歆.pdf

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1、第25卷第4期郑州铁路职业技术学院学报Vol．25No．42013年12月JournalofZhengzhouＲailwayVocational＆TechnicalCollegeDec．2013不等式证明的高等数学方法研究范慧歆，聂红科(郑州职业技术学院，河南郑州450121)摘要:不等式是研究数学问题的工具，证明不等式对培养学生的创新思维能力有着极其重要的作用，但是不等式证明的高等数学方法研究一直缺乏系统的理论层面的提升．本文分析并总结了高等数学中证明不等式的几种主要方法及其适用条件．关键词:不等式;证明;高等数学;方法0引言

2、利用函数的单调性证明不等式关键是构造辅助不等式是研究数学问题的重要工具，它渗透在函数，构造的方法有两种:作差和作商．一般先作数学的各个部分．证明不等式是高等数学中常见题差，若作差不能成立时，再用作商方法试之．在判断型，也是难度较大的题型之一，其基本方法很多，但辅助函数F(x)的单调性时，有时需借助于F″(x)或是一直缺乏系统的理论层面的提升．更高阶导数的符号来得到F'(x)的符号．1微分学方法1．2利用函数的凹凸性1．1利用函数的单调性当证明的不等式的两边或一边是同一函数在不如果证明不等式f(x)＞g(x)，一般优先考虑此同点处

3、的函数值的叠加，则一般需要通过将不等式适［1］方法，其通常步骤为:当变形构造辅助函数，利用函数的凹凸性证明之．例2若A，B，C是的△ABC的三内角，则sinA+f(x)(1)将不等式变形为f(x)－g(x)＞0(或＞g(x)3sinB+sinC≤槡3．21)，构造辅助函数F(x)=f(x)－g(x)(或F(x)=分析:不等式左边为sinx的函数的和，考虑构造f(x));g(x)下凸函数f(x)=－sinx．(2)求出F'(x)，由F'(x)的符号判断F(x)在相证明令f(x)=－sinx，0＜x＜π，则f″(x)=sinx＞0．

4、则f(x)是(0，π)上的凹函数，由函数的凹应区间上的单调性;凸性容易证得2例1求证:当x＞0时，有In(x+槡x+1)＞3xsinA+sinB+sinC≤2槡3．．2槡x+11．3利用拉格朗日乘数法2x对于一元不等式，利用函数的极值来证明不等证明令F(x)=In(x+槡x+1)－，2槡x+1式是一种非常重要的方法，借助拉格朗日乘数法求则F(0)=0，求出F'(x)，由F'(x)的符号判断F(x)多元函数极值就可得到多元不等式的拉格朗日乘数在相应区间上的单调性，即可证明．法．当所证不等式中含有二个以上变量时，就可考收稿日期:20

5、13－06－20作者简介:范慧歆(1969－)，男，河南荥阳人，郑州职业技术学院讲师，研究方向为高等数学教学。聂红科(1981－)，男，河南郑州人，郑州职业技术学院助教，硕士。181虑这种方法，用拉格朗日乘数法的关键是选择目标π1－x22所以(1－)＜［∫edx］．函数的约束条件．如果没有明确告诉约束条件，通4e02．3利用柯西—施瓦茨不等式常把不等式的“一端”作为目标函数，而将“另一端=常数a”作为约束条件．当不等式中含有带平方项的积分时，往往可通例3［2］对任意实数x＞0，y＞0，z＞0，证明不等过柯西—施瓦茨不等式来证明．

6、23x+y+z6例6设g(x)在区间［a，b］上具有连续的导数，式xyz≤108()．b262［g(b)－g(a)］证明:∫［g'(x)］dx≥．证明考察函数f(x，y，z)=xy2z3在x+y+z=ab－ab6a约束条件下的最大值问题，其中a为正常数．构证明因为(b－a)∫［g'(x)］2dxa造拉格朗日函数，bbb222F(x，y，z，λ)=xy2z3+λ(x+y+z－6a)，=∫1dx∫［g'(x)］dx≥［∫g'(x)dx］aaa它的唯一的驻点为(a，2a，3a)，此驻点为函数=［g(b)－g(a)］2，23f(x，y，

7、z)=xyz的最大值点，b［g(b)－g(a)］22故［g'(x)］dx≥．23∫b－a故f(x，y，z)=xyz≤f(a，2a，3a)a23x+y+z63其他方法故xyz≤108()．63．1利用泰勒公式2积分学方法这种方法适合于题设中含有函数的一阶、二阶2．1利用积分中值定理及二阶以上的导数且最高阶导数的大小或上、下界定积分中值定理是在处理含有定积分的不等式可知的命题．运用这种方法时，首先写出比最高阶中经常要用到的理论，其思路是通过中值定理，消去导数低一阶的函数的泰勒公式，然后根据题设对展不等式中的积分号，从而与其他项作大小

8、的比较，得开式的余项进行适当的放缩，导出所证不等式．出结论．f(x)例7已知lim=1，且f″(x)≥0，求证例4设f(x)在上连续且单调递减，证明:当x→0x1λf(x)≥x．0＜λ＜1时，∫f(x)dx≥λ∫f(x)dx．00f(x)λ1证明由lim=1及f